Доказать, что при любом натуральном $%n$% выражение $%6n^5+15n^4+10n^3-n$% кратно 30.

задан 4 Июн '17 19:20

Достаточно доказать отдельно делимость на 2, 3 и 5. Это можно сделать через малую теорему Ферма. Для иллюстрации возьмём последний случай. По модулю 5, первое слагаемое можно заменить на n^5, второе и третье отбросить. Получится n^5-n, что делится на 5. Остальные случаи ещё проще.

(4 Июн '17 20:04) falcao

с 3 тоже получается но вот с 2 не очень там же получится n^4-n а 4 это не простое число

(5 Июн '17 0:22) s1mka

@s1mka: для двойки можно иначе сделать. Вот получили Вы n^4-n. А дальше можно показать, что если взять n=2k+1, где k=0, 1, 2... , то получается число, делящееся на 2. Ну, с n=2k это очев.

(5 Июн '17 0:33) stander

@s1mka: для делимости на 2 всё более чем тривиально. Любые степени числа n имеют одну и ту же чётность. Значит, их разность чётна.

Если же исходить из "автоматического" способа решения, то надо помнить, что из равенства n^2=n (по модулю) следует n^3=n^2 после домножения на n. Значит, n^3=n. Далее n^4=n^2=n, то есть это прямое алгебраическое следствие.

По модулю 2 это всё "из пушки по воробьям", но где-то подобная аргументация могла бы быть применена.

(5 Июн '17 1:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,330

задан
4 Июн '17 19:20

показан
219 раз

обновлен
5 Июн '17 1:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru