Пусть $%G$% - нетривиальная аддитивная подгруппа $%(\mathbb{R},+)$%. Известно, что $%G\cap(-1,1)=\{0\}$%. Доказать, что существует $%r\ge 1$% такой, что $%G=r\mathbb{Z}$%

задан 4 Июн '17 19:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Любая точка прямой, принадлежащая G, является изолированной: в противном случае нашлись бы различные точки из G на расстоянии < 1, и их разность принадлежала бы G. А это противоречит тому, что G пересекается с открытым интервалом (-1;1) только по нулю.

Поскольку G нетривиальна, в G есть ненулевые числа, а потому есть и положительные. Рассмотрим их точную нижнюю грань r. Если r не принадлежит G, то в окрестности точки r есть какая-то точка g из G на расстоянии < 1. Но она изолированная, и в G нет ничего ближе к ней на малом расстоянии. Это значит, что между r и g ничего нет, а тогда r не будет точной нижней гранью.

Рассматриваем все точки вида rZ. Все они лежат в G. Больше кроме них ничего в G нет, так как любая из точек строго между rk и r(k+1) давала бы разность, которая по модулю меньше 1, и которая принадлежала бы G. Значит, G=rZ.

ссылка

отвечен 4 Июн '17 20:16

Если r не принадлежит G, то в окрестности точки r есть какая-то точка g из G на расстоянии < 1

Это почему?

(13 Июн '17 19:36) Slater

@Slater: потому что мы через r обозначили точную нижнюю грань. Элементы G подходят к r сколь угодно близко. Это верно для любого положительного eps.

(14 Июн '17 0:47) falcao

Это скорее вопрос по анализу, но вот если расписать по определению r=infX (X-множество положительных эл-тов G), то получится

$%\forall x\in X, x\ge r \text{ и } x\ge R \implies R\le r$%

Я не вижу, как отсюда следует то, что надо

(14 Июн '17 1:10) Slater

@Slater: здесь используются тривиальные свойства вещественной прямой. Допустим, что у нас нет точек, близких к r на расстояние 1/10. Тогда увеличиваем значение r на 1/10, и получаем новую нижнюю грань, которая стала больше.

Я исхожу из принципа, что при решении задача более высокого уровня, все "мини-факты" должны использоваться как нечто готовое и известное. А то можно до уровня теоретико-множественной аксиоматики дойти :)

А точные нижние грани и прочее лучше мыслить геометрически-наглядно, а не в виде формул логики.

(14 Июн '17 1:15) falcao

Спустя год, то, про что я спрашивал в комментариях, вроде понятно, но теперь непонятна общая схема этого абзаца. Пусть r не лежит в G. Тогда для любого eps>0, в открытом интервале от r до r+eps есть точка G. Тогда r не inf. Такое не работает? (Зачем изолированность использовать и интервал длины 1, непонятно)

(16 Июн '18 1:18) Slater

@Slater: по-моему, здесь имеет место избыток информации, и к нужному выводу можно прийти хоть так, хоть этак. Вопрос "зачем?" я не рассматриваю, потому что всё получается просто, и этого достаточно. То, что можно рассуждать по-другому, и кому-то иной ход мысли кажется более естественным, само по себе ничего не означает. А изолированность фактически дана в условии.

(16 Июн '18 3:40) falcao

То есть моё рассуждение тоже проходит?

(16 Июн '18 3:45) Slater

@Slater: скорее всего, да, но я не знаю точно, на что именно Вы опираетесь. Скорее всего, тут разница как между наполовину полным и наполовину пустым стаканом :)

(16 Июн '18 4:01) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516

задан
4 Июн '17 19:22

показан
419 раз

обновлен
16 Июн '18 4:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru