В тетрадке в клетку рисуется круг радиуса $%x$%, с центром в узле сетки. Все клетки, хотя бы наполовину (по площади) содержащиеся в этом круге, закрашиваются. Фигуру из закрашенных клеток назовем $%P$%. Ее характеристики (в клетках и клетках квадратных, соотв.):

  • $%S(x)$% - площадь
  • $%r(x)$% - радиус вписанной окружности
  • $%R(x)$% - радиус описанной окружности
  • $%\Delta S(x)=S_O(x)-S(x)=\pi x^2-S(x)$%
  • $%\Delta r(x)=x-r(x)$%
  • $%\Delta R(x)=R(x)-x$%

Исследовать поведение функций $%\Delta S(x), \Delta r(x), \Delta R(x)$% при $%x\rightarrow\infty$%: приблизительное значение, диапазон значений, средняя плотность точек разрыва (кол-во точек разрыва на интервале $%[x;x+\delta)$%), знак $%\Delta S(x)$%.
Будет ли плотность точек разрыва настолько высокой, что с некоторого момента данные функции можно будет условно заменить на некие элементарные функции без точек разрыва (возможно, даже на константы)? На какие именно?
Вот иллюстрация:

Иллюстрация

задан 24 Янв '13 14:58

Размеры клеток (0,5см)?

(25 Янв '13 20:49) Anatoliy

В данном случае "клетка" - это единица измерения, так что не важно. Пусть будет 1 см.

(25 Янв '13 20:55) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
3

Похожая задача обсуждается здесь:

http://avva.livejournal.com/536174.html

Скорее всего, учёт квадратов, у которых более половины площади содержится в круге, принципиально ничего не меняет, а тогда абсолютная погрешность всё-таки растёт с ростом $%x$%, хотя и сравнительно медленно.

ссылка

отвечен 8 Фев '13 1:08

Спасибо, кое-что прояснилось. Да, учёт квадратов, у которых более половины площади содержится в круге, ничего особо не меняет в случае с площадью.

(8 Фев '13 2:17) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
3

При $%x\rightarrow\infty$% дуги окружности можно аппроксимировать их касательными. В этом приближении, круг будет содержать ровно половину площади клетки тогда, когда окружность проходит через середину этой клетки. Такие моменты и будут являться точками разрыва всех исследуемых функций. Только я не уверен, что все.
Между точками разрыва, функции $%\Delta r(x)$% и $%\Delta S(x)$% возрастают, а $%\Delta R(x)$% - убывает.
На данный момент, это всё, чего я смог добиться.

ссылка

отвечен 25 Янв '13 21:37

Что значит "проходит через середину этой клетки"?

(27 Янв '13 13:28) Anatoliy

Пусть координата левого нижнего угла некоторой клетки - $%(y;z)$%, а правого верхнего угла, соотв., $%(y+1;z+1)$%, тогда выражение "окружность проходит через середину этой клетки" означает, что $%x^2=(y+0.5)^2+(z+0.5)^2$%

(27 Янв '13 14:57) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,925
×748
×196

задан
24 Янв '13 14:58

показан
1963 раза

обновлен
8 Фев '13 2:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru