Здравствуйте. Перечислите все гомоморфизмы кольца Z12 в Z2 XOR Z3; Z8 в Z4 XOR Z3.

задан 4 Июн '17 23:31

Операция XOR -- логическая. Для колец её не бывает. Если в условии было $%\oplus$%, то это прямая сумма, а не "исключающее или". В логике просто тот же значок используется для других целей, потому что прямых сумм в том же контексте не возникает.

(4 Июн '17 23:35) falcao

@falcao: да, именно такой значок (плюс в кружке).

(4 Июн '17 23:36) SergeY

@SergeY: я это понял, но отметил, что его нельзя называть XOR в данном контексте.

(4 Июн '17 23:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Гомоморфизм кольца вычетов однозначно определяется образом единицы. Если f -- гомоморфизм, то f(1) должно удовлетворять условию f(1)f(1)=f(1). В кольцах Z2 и Z3 таким свойством обладают элементы 0 и 1. Поэтому при гомоморфизме может быть один из четырёх вариантов: f(1)=(0,0); f(1)=(0,1); f(1)=(1,0); f(1)=(1,1). Элемент 12 переходит в нулевой, то есть гомоморфизм с каждым из таких свойств существует.

Во втором пункте ситуация похожая, и в Z4 есть также только элементы 0 и 1, которые в квадрате равны себе. Но 8 должен переходить в 0, и тогда в слагаемом Z3 можно брать только 0. Получается два гомоморфизма: нулевой с условием f(1)=(0,0), и гомоморфизм Z8 на Z4, где f(1)=(1,0).

ссылка

отвечен 4 Июн '17 23:43

@falcao: почему в обоих случаях 12 и 8 должны переходить в 0? Почему для 8 мы берем в Z3 только 0, а для 12 все варианты (или нет)? Для 12 можно брать все четыре пары значений?

(5 Июн '17 0:24) SergeY

@falcao: до вот этого момента все понятно, но дальше...Элемент 12 переходит в нулевой, то есть гомоморфизм с каждым из таких свойств существует.

(5 Июн '17 0:47) SergeY

@SergeY: в группе Z12 элемент 12 равен 0. Поэтому он должен переходит в нулевой элемент группы. Без учёта этого мы не получим гомоморфизма. Все пары значений подходят нам по той причине, что 2 и 3 -- делители 12. Поэтому в обоих слагаемых 12 перейдёт в 0.

Для Z8 и Z3 так уже не будет, поскольку 8 не делится на 3. Если мы 1 отобразили в x, то 8 отобразится в 8x, а условие 8x=0 в Z3 равносильно x=0. Значит, там кроме брать ничего нельзя.

(5 Июн '17 0:57) falcao

@falcao: то есть, если пары значений являются делителями, то подходит и 0, и 1. Если же нет, то подходит только 0. Верно?

(5 Июн '17 1:03) SergeY

@SergeY: давайте не будем делать лишних обобщений. Всё сказанное, в принципе, верно, но я думаю, что лучше всего здесь думать о частностях. Я вроде как все вещи обосновал. Значит, аргументация должна быть понятна. Её тогда и берёте. Если осталось что-то не до конца понятное, можно доспросить. Но так же конкретно, как Вы это сделали в предыдущих комментариях.

(5 Июн '17 1:07) falcao

@falcao: данные вопросы задал для того, чтобы понять суть решения задания и суметь самостоятельно решить аналогичные, но с другими входными параметрами. А за объяснение спасибо, все понял :)

(5 Июн '17 1:10) SergeY

@SergeY: а для этого достаточно понять в деталях рассмотренный пример. Тогда аналогичное задание с другими числами Вы не просто решите, но сделаете это с пониманием и уверенностью. Последнее -- самое важное.

(5 Июн '17 1:15) falcao

@falcao: ради понимания у меня и дотошность такая. Еще раз спасибо :)

(5 Июн '17 1:18) SergeY
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
4 Июн '17 23:31

показан
561 раз

обновлен
5 Июн '17 1:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru