Определим $$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\\ \psi_n(x) = e^{-x^2/2}H_n(x) = (-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})$$

Как доказать, что $%\psi_n(x)$% является решением уравнения :$$\psi_n''(x) - x^2\psi_n(x) = -(2n + 1) \psi_n(x)$$ и найти $$F [ \psi_n (x) ] ( \xi ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix\xi} \psi_n(x)dx$$

задан 5 Июн '17 14:35

изменен 5 Июн '17 14:37

проверять, что это решение ДУ, можно по индукции...

(5 Июн '17 15:14) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим $$ \psi_n(x) = e^{x^2/2}\cdot z_n(x) \quad\Rightarrow\quad \psi_n''=(z_n''+2\cdot x\cdot z_n'+x^2\cdot z_n)\cdot e^{x^2/2} $$ Тогда $$ z_n''+2\cdot x\cdot z_n'+(2n+1)\cdot z_n =0 $$ Продифференцируем уравнение $$ (z_n')''+2\cdot x\cdot (z_n')'+(2n+3)\cdot z_n' =0 $$ $$ (-z_n')''+2\cdot x\cdot (-z_n')'+(2(n+1)+1)\cdot (-z_n') =0 $$ $$ z_{n+1}''+2\cdot x\cdot z_{n+1}'+(2(n+1)+1)\cdot z_{n+1} =0 $$ Остаётся проверить, что при $%n=0$% функция $%z_0(x)=e^{-x^2/2}$% является решением...

Обозначим $$ F_n(\xi) = F\Big(\psi_n(x)\Big)(\xi) $$ Тогда $$ F_{n+1}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{x^2}{2}+i\cdot x\cdot \xi} \cdot \Big((-1)^{n+1} \cdot e^{-x^2}\Big)^{(n+1)}\;dx = $$ $$ = -\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x+i\cdot\xi)\cdot e^{\frac{x^2}{2}+i\cdot x\cdot \xi} \cdot \Big((-1)^{n+1} \cdot e^{-x^2}\Big)^{(n1)}\;dx = i\cdot F_n'(\xi)+i\cdot\xi F_n(\xi) $$ Итого, $$ F_{n+1}(\xi) =i\cdot e^{-\xi^2/2}\cdot \Big(e^{\xi^2/2}\cdot F_n(\xi) \Big)' = \ldots = i^{n+1}\cdot e^{-\xi^2/2}\cdot \Big(e^{\xi^2/2}\cdot F_0(\xi) \Big)^{(n+1)} $$ осталось выписать $%F_0(\xi)$%и получить ответ...

ссылка

отвечен 6 Июн '17 0:01

изменен 6 Июн '17 0:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265
×1,054
×51

задан
5 Июн '17 14:35

показан
495 раз

обновлен
6 Июн '17 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru