Бесконечно ли много положительных чисел вида (2^(1/2))a-(3^(1/2))b, где a,b - натуральные, меньших единицы. Обосновать.

задан 5 Июн '17 16:24

изменен 5 Июн '17 19:37

1

Какой-то странный вопрос, таких чисел вообще 0.
Т.к. натуральные числа - это 1,2,3... А еще сказано что они меньше единицы, значит меньше любого натураального, значит таких числе нет. Я сначала подумал про отреезок [0;1] но и в нем задача звучиит довольно странно.

(5 Июн '17 16:29) Williams Wol...

Задача будет иметь смысл, если вместо натуральных чисел рассматривать целые. Или сумму заменить на разность.

(5 Июн '17 16:40) falcao

Прошу прощения, допустил опечатку, вместе плюса должен стоять минус.

(5 Июн '17 19:27) Reyg
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно доказать намного более сильный факт, а именно, то, что для любого $%\varepsilon > 0$% имеется бесконечно много пар натуральных чисел $%a$%, $%b$%, для которых $%a\sqrt2-b\sqrt3\in(0;\varepsilon)$%. При этом используется только несоизмеримость чисел, то есть иррациональность их отношения.

Для случая $%\varepsilon=1$% можно рассуждать совсем просто. Рассмотрим фиксированное число $%b$%. Отметим на числовой прямой все точки $%\sqrt2$%, $%2\sqrt2$%, $%3\sqrt2$%, ... , кратные корню из двух. Рассмотрим точку $%b\sqrt3$%. Она лежит строго между какими-то из отмеченных значений, что можно записать в виде $%(a-1)\sqrt2 < b\sqrt3 < a\sqrt2$%, где $%a$% натуральное. Такое значение $%a$% существует и единственно для любого $%b\in\mathbb N$%. Например, при $%b=1$% мы имеем $%a=2$%, то есть $%\sqrt2 < \sqrt3 < 2\sqrt2$%.

Нас интересует разность $%a\sqrt2-b\sqrt3$%, которая всегда положительна, и при этом меньше $%\sqrt2$%. Если она оказалась меньше $%1$%, то всё хорошо -- в этом случае будет называть число $%b$% подходящим. Нетрудно заметить, что $%b=1$% таковым не будет, так как $%2\sqrt2 > 2,8$%, но $%\sqrt3 < 1,8$%, и разность больше 1. Утверждается, что в таком случае $%b+1$% или $%b+2$% непременно окажется подходящим, что будет обосновано ниже. Из этого следует, что для любых трёх последовательных значений числа $%b$% есть хотя бы одно подходящее, и тогда этих значений бесконечно много. Для иллюстрации: $%2\sqrt3\in(2\sqrt2,3\sqrt2)$%, и здесь разность $%3\sqrt2-2\sqrt3$% уже меньше единицы.

Удобно сделать рисунок, изобразив на числовой прямой точки $%(a-1)\sqrt2$%, $%a\sqrt2$%, и точку $%b\sqrt3$% между ними, расстояние от которой до правого конца не меньше 1. Тогда, если мы прибавим $%\sqrt3$%, то получим число $%(b+1)\sqrt2$%, которая попадёт в следующую "секцию", то есть окажется между $%a\sqrt2$% и $%(a+1)\sqrt2$%. Разность $%(a+1)\sqrt2-(b+1)\sqrt3=(a\sqrt2-b\sqrt3)-(\sqrt3-\sqrt2)$% меньше $%2\sqrt2-\sqrt3$%, то есть она всё ещё может оказаться большей 1, если в предыдущей секции число $%b\sqrt2$% было близко к левому концу. Но тогда следующий сдвиг на $%\sqrt3$% вправо даёт $%(b+2)\sqrt3$%. что расположено между $%(a+1)\sqrt2$% и $%(a+2)\sqrt2$%. Теперь уже разность $%(a+2)\sqrt2-(b+2)\sqrt3=(a\sqrt2-b\sqrt3)-2(\sqrt3-\sqrt2) < 3\sqrt2-2\sqrt3$%, что будет уже меньше $%1$%.

ссылка

отвечен 5 Июн '17 22:41

Хорошее объяснение, только надо бы распространить его на случай $%\varepsilon<1$%

А верно ли утверждение задачи если вместо $%\sqrt{2}$% и $%\sqrt{3}$% подставить произвольные иррациональные числа?

(7 Июн '17 4:04) abc
1

@abc: это всё будет верно, и у меня в ответе есть фраза об этом.

Здесь я исходил из того, что в условии задачи говорится про число 1, поэтому подразумевается боле простой (в смысле техники) способ решения. А так -- берёте число c=sqrt(3/2), и применяете рассуждение отсюда.

(7 Июн '17 12:04) falcao

Аа понял, я думал что решение будет для всех $%\varepsilon$%. Действительно эта задача равносильна той, я думал об этом но не стал проверять

(7 Июн '17 14:59) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,300
×861
×627
×3

задан
5 Июн '17 16:24

показан
469 раз

обновлен
7 Июн '17 15:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru