|
Очевидно, что теорема Пифагора — теорема о расстояниях, и её корректность не должна зависеть от введения дополнительного функционала на фигурах плоскости. Нетрудно видеть, что для её доказательства, достаточно доказать любое из утверждений (которые так или иначе в стандартном изложении берутся или из Т. Пифагора, или из свойств площади):
Если они вам известны, напишите, пожалуйста, красивые (или не очень) способы получить одно из четырех перечисленных утверждений. Нам дано, как я понимаю:
Если вам известно, почему не получится простого доказательства без площади, напишите свои соображения. Буду рад, если не ответам, то хотя бы содержательным комментариям, спасибо! задан 25 Янв '13 6:16 
at1 |
|
Некрасивое решение, очень похожее на доказательство формулы площади прямоугольника: докажем первый признак подобия треугольника. Дано два треугольника $$\triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1, \text{причём}\ |BC| = a, |AC| = b$$ Пусть отношение: $$\frac{|B_1C_1|}{|BC|} = k.$$ Доказать: $$|A_1C_1| = k \cdot b.$$ Основная часть доказательства: $$k = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$$ Разобьем [BC] на q равных частей и проведём ряд параллельных прямых через полученные точки. Тогда сторона [AC] разобьется на q равных кусков (по теореме Фалеса [не обобщенной, а обычной, которая получается из равенства треугольников]):
Тогда равные отрезки будут иметь равную длину, а значит длина одного кусочка x: $$q \cdot x = b \Rightarrow x = \frac{b}{q}$$ Теперь в другом треугольнике разобьем сторону |B1C1| = p/q * a на p равных частей рядом параллельных прямых. Так как угол тот же и длина равных отрезков опять a/q то на второй прямой высекутся p равных отрезков длиной b/q (можно формально написать равенство треугольников, если хочется). Таким образом, длина $$|A_1C_1| = p \cdot \frac{b}{q} = kb$$ На случай вещественного k обобщаем стандартным образом: строим две последовательности подобных треугольников с рациональными сторонами, "зажимающих" в пределе данный треугольник ABC, и для которых уже всё доказано. Сама теорема Пифагора из подобия получается сразу:
$$\left.\begin{array}{ccc} \frac{c - x}{b}&=&\frac{b}{c}\\ \frac{x}{a}&=&\frac{a}{c} \end{array}\right\} \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$$ отвечен 25 Янв '13 6:19
at1 |
|
Пусть имеется три вещественных положительных числа, удовлетворяющих условиям: 1 < a < b < c, либо a < b < c < 1. Несложно показать, что для любой тройки чисел всегда существует единственное вещественное положительное число x, такое, что будет выполняться равенство: $$a^{x} + b^{x} = c^{x}$$. В самом деле, если рассматривать функцию $$f(x) = c^{x} - a^{x} - b^{x}$$, то можно увидеть, что при х, стремящемся к нулю, f(x) < 0, а при х, стремящемся к бесконечности, f(x) > 0. Таким образом, для любой тройки чисел a, b, c число x существует, причем оно единственное, что тоже показать несложно. Число x может принимать любые значения, отличные от нуля и бесконечности. При x = 2 существуют такие числа a, b, c (при условии (a + b) > c), для которых справедлива теорема Пифагора, доказанная здесь (схематично!) без привлечения геометрических понятий. отвечен 25 Янв '13 21:50 
nikolaykruzh... 2
Ну серьезно, какое отношение всё выше написанное имеет к теореме Пифагора? Обычно у меня крепкие нервы, но в данном случае предел антинаучности превышен.
(25 Янв '13 22:10)
chameleon
Какую же мне участь принять? Наверное, Тараса... @chameleon, крепитесь, голубчик: я ещё не такое могу выдать!.. Интересно: а Вы, с Вашей решительностью, смогли бы сжечь Джордано Бруно (поймите: речь не обо мне, а о Джордано Бруно и о Вас!)? Или Вы только меня готовы сжечь? Неужели у Вас сердце не дрогнуло бы? Представляете: я ползал бы у Вас в коленях, мешая сопли со слезами, а Вы, молодой, самоуверенный, властный, брезгливо отпихивали бы меня сапогом с ботфортами, плевали бы мне на лысину, и орали бы на тех, кто должен привязать меня к столбу, за неповоротливость... Нет, Вы не смогли бы!
(25 Янв '13 23:06)
nikolaykruzh...
|
Так получилось, что пока набирал вопрос, придумал ответ (он ниже). Тем не менее, я бы хотел другого доказательства, без этой возни с рациональными числами. (особенно просто выглядит утв. 3)
Хотя, я почти уверился, что это не возможно, т.к. мы раздуваем отрезок (в подобии) на вещ. число. Вещ. число = последовательность рац. чисел. Вещ. отрезок = посл. рац. отрезков. Поэтому, скорее всего, принципиально по-другому из аксиом расстояния не получится.
Буду рад, если опровергните меня красивым доказательством ;)