Очевидно, что теорема Пифагора — теорема о расстояниях, и её корректность не должна зависеть от введения дополнительного функционала на фигурах плоскости.

Нетрудно видеть, что для её доказательства, достаточно доказать любое из утверждений (которые так или иначе в стандартном изложении берутся или из Т. Пифагора, или из свойств площади):

  1. обобщенная теорема Фалеса
  2. 1 признак подобия треугольников
  3. инвариантность произведения высоты из угла на противолежащую сторону в треугольнике

Если они вам известны, напишите, пожалуйста, красивые (или не очень) способы получить одно из четырех перечисленных утверждений. Нам дано, как я понимаю:

  1. аксиомы планиметрии (Евклидовы)
  2. аксиомы расстояния (4 шт: неотрицательность, нормировка, аддитивность, равенство)
  3. все, что из них следует без шаманства

Если вам известно, почему не получится простого доказательства без площади, напишите свои соображения. Буду рад, если не ответам, то хотя бы содержательным комментариям, спасибо!

задан 25 Янв '13 6:16

Так получилось, что пока набирал вопрос, придумал ответ (он ниже). Тем не менее, я бы хотел другого доказательства, без этой возни с рациональными числами. (особенно просто выглядит утв. 3)

Хотя, я почти уверился, что это не возможно, т.к. мы раздуваем отрезок (в подобии) на вещ. число. Вещ. число = последовательность рац. чисел. Вещ. отрезок = посл. рац. отрезков. Поэтому, скорее всего, принципиально по-другому из аксиом расстояния не получится.

Буду рад, если опровергните меня красивым доказательством ;)

(25 Янв '13 6:27) at1
10|600 символов нужно символов осталось
3

Некрасивое решение, очень похожее на доказательство формулы площади прямоугольника: докажем первый признак подобия треугольника.

Дано два треугольника $$\triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1, \text{причём}\ |BC| = a, |AC| = b$$

Пусть отношение: $$\frac{|B_1C_1|}{|BC|} = k.$$ Доказать: $$|A_1C_1| = k \cdot b.$$

Основная часть доказательства: $$k = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$$ Разобьем [BC] на q равных частей и проведём ряд параллельных прямых через полученные точки. Тогда сторона [AC] разобьется на q равных кусков (по теореме Фалеса [не обобщенной, а обычной, которая получается из равенства треугольников]):

Triangle ABC

Тогда равные отрезки будут иметь равную длину, а значит длина одного кусочка x: $$q \cdot x = b \Rightarrow x = \frac{b}{q}$$

Теперь в другом треугольнике разобьем сторону |B1C1| = p/q * a на p равных частей рядом параллельных прямых. Так как угол тот же и длина равных отрезков опять a/q то на второй прямой высекутся p равных отрезков длиной b/q (можно формально написать равенство треугольников, если хочется).

Таким образом, длина $$|A_1C_1| = p \cdot \frac{b}{q} = kb$$

На случай вещественного k обобщаем стандартным образом: строим две последовательности подобных треугольников с рациональными сторонами, "зажимающих" в пределе данный треугольник ABC, и для которых уже всё доказано.


Сама теорема Пифагора из подобия получается сразу:

Right triangle

$$\left.\begin{array}{ccc} \frac{c - x}{b}&=&\frac{b}{c}\\ \frac{x}{a}&=&\frac{a}{c} \end{array}\right\} \Rightarrow a^2 + b^2 = c^2$$

ссылка

отвечен 25 Янв '13 6:19

10|600 символов нужно символов осталось
-3

Пусть имеется три вещественных положительных числа, удовлетворяющих условиям: 1 < a < b < c, либо a < b < c < 1. Несложно показать, что для любой тройки чисел всегда существует единственное вещественное положительное число x, такое, что будет выполняться равенство: $$a^{x} + b^{x} = c^{x}$$. В самом деле, если рассматривать функцию $$f(x) = c^{x} - a^{x} - b^{x}$$, то можно увидеть, что при х, стремящемся к нулю, f(x) < 0, а при х, стремящемся к бесконечности, f(x) > 0. Таким образом, для любой тройки чисел a, b, c число x существует, причем оно единственное, что тоже показать несложно. Число x может принимать любые значения, отличные от нуля и бесконечности. При x = 2 существуют такие числа a, b, c (при условии (a + b) > c), для которых справедлива теорема Пифагора, доказанная здесь (схематично!) без привлечения геометрических понятий.

ссылка

отвечен 25 Янв '13 21:50

изменен 25 Янв '13 21:55

1

В средние века за такое сжигали.

(25 Янв '13 22:08) chameleon
2

Ну серьезно, какое отношение всё выше написанное имеет к теореме Пифагора? Обычно у меня крепкие нервы, но в данном случае предел антинаучности превышен.

(25 Янв '13 22:10) chameleon

Какую же мне участь принять? Наверное, Тараса... @chameleon, крепитесь, голубчик: я ещё не такое могу выдать!.. Интересно: а Вы, с Вашей решительностью, смогли бы сжечь Джордано Бруно (поймите: речь не обо мне, а о Джордано Бруно и о Вас!)? Или Вы только меня готовы сжечь? Неужели у Вас сердце не дрогнуло бы? Представляете: я ползал бы у Вас в коленях, мешая сопли со слезами, а Вы, молодой, самоуверенный, властный, брезгливо отпихивали бы меня сапогом с ботфортами, плевали бы мне на лысину, и орали бы на тех, кто должен привязать меня к столбу, за неповоротливость... Нет, Вы не смогли бы!

(25 Янв '13 23:06) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,923
×299
×34

задан
25 Янв '13 6:16

показан
2442 раза

обновлен
25 Янв '13 23:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru