найти площадь поверхности $%x^2+y^2+z^2=a^2$%, лежащей внутри цилиндра $%x^2+y^2=R^2, (R>0)$%

$%\int\int\limits_D\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\int\int\limits_D\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}=\int\limits_0^{2\pi}d\phi\int\limits_0^R\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}=\pi \cdot 2\sqrt{U}|_0^R=\pi \cdot 2\sqrt{a^2-r^2}|_0^R=$%

$%=2\pi(a^2-R^2)$%

задан 6 Июн '17 1:46

изменен 10 Июн '17 11:30

Используйте ту же формулу, что и раньше -- с квадратным корнем и частными производными.

(6 Июн '17 10:12) falcao

@s1mka: нет, такую функцию брать не надо. Она задаёт не поверхность, а ограничения. Кстати, R < 0 (отрицательный радиус) -- это выглядит странно. Поверхность состоит из двух симметричных частей. Достаточно найти площадь одной -- скажем, верхней. Она задаётся как z=sqrt(a^2-x^2-y^2).

(6 Июн '17 16:17) falcao

@s1mka: надо исправить опечатку (R > 0 вместо "меньше"), и найти интеграл по кругу радиуса R в полярных координатах.

(9 Июн '17 23:32) falcao

@s1mka: надо принять во внимание несколько самоочевидных фактов. Во-первых, x^2+y^2=r^2 (это вроде как все знают, потому что это теорема Пифагора :)), и тогда функция будет равна a/sqrt{a^2-r^2}. Далее, для пределов интегрирования в полярных координатах по кругу -- простейшей из фигур, угол меняется от 0 до 2п (полный оборот), а r меняется от 0 до R. Более того, здесь оба интеграла будут независимыми, то есть надо 2п умножить на одномерный интеграл по r, домножив на якобиан. Будет 2пa int_0^R r dr/sqrt{a^2-r^2}, а это очень лёгкий интеграл.

(10 Июн '17 0:57) falcao

@s1mka: как получился арксинус, за счёт чего? И почему не вычислен интеграл по ф?

(10 Июн '17 1:50) falcao

@s1mka: по-моему, Вы такие интегралы (и даже более сложные) когда-то умели находить. Здесь всё просто: надо занести r под знак дифференциала: r dr = d(r^2)/2 = -d(a^2-r^2)/2. А интеграл от du/(2 sqrt(u)) понятно чему равен.

(10 Июн '17 2:25) falcao

@falcao так получается? потом U заменяем на $%a^2-r^2$% правильно я поняла?

(10 Июн '17 11:31) s1mka

@s1mka: здесь нечего уточнять -- всё же донельзя элементарно. Конечно, я через u обозначил a^2-r^2, что бросается в глаза. И вообще, такие простые вещи должны делаться автоматически.

(10 Июн '17 12:36) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
6 Июн '17 1:46

показан
498 раз

обновлен
10 Июн '17 12:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru