Существуют ли три таких различных простых числа $%p$%, $%q$%, $%r$%, что $%p^2+10$% делится на $%qr$%, $%q^2+10$% делится на $%pr$%, а $%r^2+10$% делится на $%qp$%?

Прежде всего, хочу заметить, что автор, по всей видимости, имел в виду именно "попарно различных". Однако я всё же разберу и этот случай - пусть два из трёх чисел одинаковы, а третье - другое. Не ограничивая общности, предположим, что $%p=q < r$%.

Тогда $%p^2+10$% должно делиться на $%qr$%, а значит и на $%q$%, из чего следует, что $%p$% может быть равно только 2 или 5. Но тогда $%r$% может быть равно только 7, а $%7^2+10=59$% не кратно ни 2, ни 5. Мы пришли к противоречию.

Теперь разберёмся с попарно различными. Не ограничивая общности, предположим, что $%p < q < r$%. Поскольку все простые числа являются целыми и положительными, $%p^2+10$%, если он делится на $%qr$%, должен быть не меньше $%qr$%, а значит, не меньше $%(p+1)(p+2)$%. Но их этого немедленно следует, что $%p$% может быть равен только 2. Но тогда $%2^2+10=14$% нам не подходит, так как делится только на 2 и на 7. Таким образом, ответ на задачу отрицателен.

Верно ли моё решение (критика приветствуется)?

задан 6 Июн '17 1:47

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×20

задан
6 Июн '17 1:47

показан
357 раз

обновлен
6 Июн '17 1:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru