Пусть $%p$% >0 - простое целое, $% G \cong \mathbb{Z}_p \bigoplus \mathbb{Z}_p \bigoplus \mathbb{Z}{p^3}$%

Используя описание порядковой структуры прямых сумм циклических групп, составляющих разложение абелевой группы порядка $%p^5$%, показать, что любое разложение группы $%G$% в прямую сумму циклических имеет указанный вид.

задан 6 Июн '17 2:56

изменен 6 Июн '17 3:29

Тут легко перебрать все случаи. Ясно, что Z(p^5) и Z(p^4)+Z(p) не подходят, так как они не удовлетворяют тождеству x^{p^3}=1. Тогда слагаемое Z(p^3) должно присутствовать (в противном случае не будет элементов порядка p^3). Остаётся рассмотреть группу G=Z(p^3)+Z(p^2). Для этого достаточно сравнить группы G/pG и H/pH. Видно, что они будут разными.

(6 Июн '17 9:58) falcao

@falcao, пожалуйста, опишите или подскажите процесс сравнения групп G/pG и H/pH

(14 Июн '17 1:37) segfault

@segfault: здесь имеется в виду следующая идея. Допустим, что группы G и H изоморфны. Тогда существует изоморфизм f: G->H. При этом изоморфизме подгруппа pG переходит в pH. Тогда можно рассмотреть индуцированный гомоморфизм факторгрупп G/pG на H/pH, который будет изоморфизмом. Применяется это просто: для G из условия G/pG есть Z_{p^2}, а для H=Z_{p^3}+Z_{p^2} будет Z_{p^2}+Z_p.

(14 Июн '17 1:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,019
×434
×241

задан
6 Июн '17 2:56

показан
421 раз

обновлен
14 Июн '17 1:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru