Замкнутое подмножество $%V(I)$% пространства $%(\mathbb{F}^n, T)$% неприводимо (не может быть представлено в виде объединения двух своих непустых замкнутых подмножеств), если и только если идеал $%\sqrt{I}$% является простым (первичным).

задан 6 Июн '17 4:46

V(I) в данном случае - это подмножества множества F^n (называемые афинными многообразиями), каждое из которых является множеством общих решений системы уравнений g = 0, где g принадлежит I,а I - это некоторое подмножество алгебры F[x1,....,xn], т.е. V(I) = {(a1,....,an) принадлежит F^n | g(a1,....,an) = 0 для любого g принадлежащего I}

(6 Июн '17 11:53) Heimdallr
10|600 символов нужно символов осталось
1

В одну сторону: пусть многообразие приводимо. Непустые замкнутые подмножества из условия представлены какими-то системами уравнений вида $%f_i=0$% и $%g_j=0$%. Возьмём точку из одной части, которая другой из частей не принадлежит (видимо, надо добавить к условию задачи, что части не содержатся друг в друге -- без этого будет неверно). Взятая точка не принадлежит второй части, поэтому не удовлетворяет некоторому уравнению $%g_j=0$%. Аналогично, берём точку из второй части, которая не удовлетворяет некоторому уравнению $%f_i=0$%.

Произведение $%f_{i}g_{j}$% равно нулю на любой из точек многообразия. Тогда по теореме Гильберта о нулях, она принадлежит радикалу идеала. Но при этом ни $%f_i$%, ни $%g_j$% ему уже не принадлежат, а потому идеал не будет простым.

Обратно: пусть идеал не является простым. Находим такие $%f$% и g, что $%fg$% принадлежит идеалу, а ни один из множителей не принадлежит. Формируем два многообразия при помощи идеалов $%(I,f)$% и $%(I,g)$%. Их объединение будет давать всё замкнутое подмножество, задаваемое идеалом $%I$%, так как для любой из точек $%fg=0$%, а потому в ней $%f=0$% или $%g=0$%. При этом получится два непустых замкнутых подмножества, из которых ни одно не содержит другое.

ссылка

отвечен 7 Июн '17 2:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,519
×339

задан
6 Июн '17 4:46

показан
383 раза

обновлен
7 Июн '17 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru