Какие элементы будут содержаться в Q [x]/f (x), если deg f=2 . И чему изоморфны Q [x]/x^2+2x+1 , Q [x]/(x-a)(x-b), Q [x]/(x^2+x+1)

задан 6 Июн '17 13:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Факторкольцо Q[x] по главному идеалу, порождённому многочленом f(x) второй степени, можно считать состоящим из всех остатков от деления на f(x), то есть элементов вида a+bx, где a, b рациональны. Складываются многочлены обычно, а у произведения надо брать остаток от деления на x.

Случай f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2 путём линейной замены сводится к случаю f(x)=x^2. Тогда для элементов факторкольца имеем (a+bx)(c+dx)=ac+(ad+bc)x. При желании, можно представить эту алгебру матрицами.

Во втором случае не оговорено, что a не равно b. Случай, когда они равны, сводится к предыдущему. Если корни не равны, путём линейной замены можно многочлен перевести в (x-1)(x+1). Тогда умножение будет задаваться как (a+bx)(c+dx)=ac+bd+(ad+bc)x.

Третий случай: многочлен f(x) неприводим над Q, и даже над R. Линейной заменой он переводится в многочлен x^2+1, а для него факторкольцо является полем Q(i).

ссылка

отвечен 6 Июн '17 23:50

подскажите пожалуйста еще про Q [x]/(2x^2+5x-3)??очень прошу

(6 Июн '17 23:57) Koval

@Koval: это многочлен (2x-1)(x+3), у которого два различных рациональных корня. То есть это разобрано в случае (x-a)(x-b).

(7 Июн '17 0:10) falcao

@falcao не понял Q [x]/x^2+2x+1 изоморфно a+bx? и так далее?

(8 Июн '17 0:21) Koval

@Koval: Вы действительно не поняли. Во-первых, я говорил о скобках вокруг многочлена. Во-вторых, факторкольцо изоморфно не a+bx, а изоморфно кольцу, состоящему из элементов указанного вида, в котором операции заданы так, как указано выше. Если эту мысль пытаться выразить коротко и просто, то получается неточно и неграмотно.

(8 Июн '17 0:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
6 Июн '17 13:04

показан
318 раз

обновлен
8 Июн '17 0:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru