При каких целых а многочлен 5x^4-6x^3-ax^2-4x+2 неприводим над полем Q.

Правильно ли я понимаю, что применив критерий Эйзенштейна для p = 2 мы получаем, что многочлен будет неприводим для всех четных а.

задан 7 Июн '17 2:40

10|600 символов нужно символов осталось
2

Критерий Эйзенштейна показывает, что при чётных значениях $%a$% многочлен неприводим, но в условии, как я понимаю, следует указать все значения.

Рассмотрим случай, когда многочлен имеет рациональный корень. Этот корень может иметь один из видов: $%\pm1$%, $%\pm2$%, $%\pm1/5$%, $%\pm2/5$%. Подставляя соответствующие значения $%x$%, получаем целые значения для $%a$%, равные $%-3$%, $%17$% или $%29$%. Остальные значения будут не целыми. При найденных $%a$% многочлен приводим над $%\mathbb Q$%.

Теперь рассмотрим случай, когда многочлен можно разложить в произведение двух многочленов степени $%2$% с целыми коэффициентами. Старшие члены можно считать равными $%5$% и $%1$% соответственно. Тогда произведение имеет вид $%(5x^2+px+a)(x^2+qx+b)$%, где $%ab=2$% (четыре варианта). Коэффициент при $%x^3$% равен $%p+5q=-6$%, то есть $%p=-6-5q$%. Коэффициент при $%x$% равен $%pb+qa=-6b+q(a-5b)$%. Очевидно, что $%a+b=\pm3$%, поэтому $%a-5b$% делится на три, и то же верно для коэффициента при $%x$%. Поскольку он у нас равен $%-4$%, такое разложение невозможно.

ссылка

отвечен 7 Июн '17 3:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×416

задан
7 Июн '17 2:40

показан
424 раза

обновлен
7 Июн '17 3:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru