Исследовать функцию z=xy на условный экстремум при условии x^2+y^2=1.

задан 7 Июн '17 10:53

Примените метод множителей Лагранжа. Схема там стандартная. Если что не получится, можно будет уточнить.

(7 Июн '17 12:27) falcao

Методом Лагранжа пробовал. У меня получилось: при l=1/2 x=-y, при l=-1/2 x=y (l = лямбда). То есть не получаются конкретные точки, в которых можно было бы найти второю производную и определить, где максимум, где минимум.

(7 Июн '17 22:56) Men007

Почему не получаются? У нас будет система уравнений y-2Lx=0, x-2Ly=0, где неизвестных три, но есть ведь ещё уравнение x^2+y^2=1, привлекая которое, мы находим конкретные точки.

(7 Июн '17 23:34) falcao

В итоге получаем системы 1) x=-y; L=1/2; x^2+y^2=1 2) x=y; L=-1/2; x^2+y^2=1. В итоге, мы из первого уравнения получаем: a) L=1/2, x=-2^(1/2)/2, y=2^(1/2)/2; б) L=1/2, x=2^(1/2)/2, y=-2^(1/2)/2. А из второго уравнения получаем: a) L=-1/2, x=-2^(1/2)/2, y=-2^(1/2)/2; б) L=-1/2, x=2^(1/2)/2, y=2^(1/2)/2. Таким образом, имеем точки: M1(-2^(1/2)/2;2^(1/2)/2), M2(2^(1/2)/2,-2^(1/2)/2), M3(-2^(1/2)/2,-2^(1/2)/2), M4(2^(1/2)/2,2^(1/2)/2).

(8 Июн '17 0:18) Men007

@Men007: да, там будут эти точки, и их легко изобразить на единичной окружности. То же самое видно и из соображений тригонометрии. Где там максимумы и минимумы, также хорошо видно.

(8 Июн '17 0:37) falcao

У меня получилось, что в точке М1 и в точке М2 (эти точки симметричны относительно начала координат) функция имеет условный минимум, при этом z(min)=-8 для обеих точек. А в точке М3 и в точке М4 (эти точки симметричны относительно начала координат) функция имеет условный максимум, при этом z(max)=8 для обеих точек. Может ли такое получиться, что у функции будет две точки с условными минимумами и две точки с условными максимумами (несмотря на то, что значения функции в этих точках равны, то есть z(M1)=z(M2), z(M3)=z(M4))?

(8 Июн '17 3:16) Men007

z(min)=-1/2; z(max)=1/2

(8 Июн '17 9:00) Men007

@Men007: конечно, так может быть. Ведь там, по сути дела, синус удвоенного угла (делённый на два). Можно нарисовать его график на отрезке [0,2п] и сверить.

(8 Июн '17 13:37) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x=\cos t;y=\sin t;f (x,y)=0.5\sin 2t; max=0.5;min=-0.5$%

ссылка

отвечен 7 Июн '17 15:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

В подобного сорта простых задачах хорошо работает геометрия...

Здесь, в силу симметрии вхождения переменных, касание гипербол $%xy=C$% с единичной окружностью будут лежать на прямых $%x\pm y =0$%... Но даже если симметрии нет и ищем точки методом множителей Лагранжа... то дальше нетрудно посмотреть на направление градиента или просто на изменение значений $%C$% для "отрыва" от окружности...

ссылка

отвечен 8 Июн '17 16:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
7 Июн '17 10:53

показан
474 раза

обновлен
8 Июн '17 16:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru