Докажите, что касательные плоскости к поверхности $$xyz=1$$ образуют с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.

задан 7 Июн '17 18:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выберем на поверхности точку (a,b,c). Это значит, что abc=1. Напишем уравнение касательной плоскости в этой точке. Градиент функции xyz-1 равен (yz,xz,xy). Во взятой точке он равен (bc,ac,ab)=(1/a,1/b,1/c). Тогда уравнение плоскости имеет вид x/a+y/b+z/c=const. Значение константы находим из условия, что точка x=a, y=b, z=c принадлежит плоскости. Отсюда константа равна трём, и уравнение можно записать в виде x/(3a)+y/(3b)+z/(3c)=1. Это значит, что длины отрезков, высекаемых плоскостью на осях, равны 3|a|, 3|b|, 3|c|. Их произведение 27|abc|=27 есть объём параллелепипеда, построенного на этих отрезках. Объём тетраэдра составляет от него 1/6, то есть он равен 9/2, и не зависит от выбора точки на поверхности.

ссылка

отвечен 7 Июн '17 21:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
7 Июн '17 18:43

показан
829 раз

обновлен
7 Июн '17 21:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru