Доказать или привести контрпример.

  1. Если $%f:R \rightarrow R$% - дифференцируемая функция, причем $%f(x)>x^2$% для всех $%x\in R$%, то для любого $%M\in R$% существует $%x_0\in R$% такой что $%|f'(x_0)|>M$%.
  2. Если $% f: R^2 \rightarrow R^2 $% - дифференцируемая функция и $% ||f(x,y)||>||(x,y)||^2$%, то для любого $%M\in R$% существует $%(x_0,y_0)\in R^2$% такой что $%|\det Df(x_0,y_0) |>M$%

задан 7 Июн '17 23:26

изменен 7 Июн '17 23:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

П.1.-докажем, что он верен методом "от противного". Если производная функции ограничена числом М, то по т. Лагранжа $%f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)\Rightarrow |f(x)|\leq |f(0)|+M|x|,$% и функция растет не быстрее линейной функции. П.2. $% f(x;y)=(x^{2n}+y^{2n};x^{2n}+y^{2n}).$% Увеличивая n, можно добиться сколь угодно высокого степенного роста нормы вектора в образе, при этом якобиан этого отображения тождественно равен 0.

ссылка

отвечен 7 Июн '17 23:47

А какой точный математический смысл имеет фраза "функция растет не быстрее линейной функции"? Просто f(x)<=x для всех x? Но там модули появляются и еще слагаемое с |f(0)|, и множитель M..

(8 Июн '17 0:38) curl
1

@curl: это значит, что существует линейная функция вида kx+b такая, что |f(x)|<=kx+b для всех x (или, как вариант, что это верно для всех x>=x0). Ясно, что квадратичная функция не такова.

(8 Июн '17 0:40) falcao

А в п.2 для данного примера неравенство на нормы же будет нестрогим? Обе функции могут быть равны (0,0). Или это условие некорректное, и там неравенство должно быть нестрогим? Или просто в пример можно добавить +1 в каждую компоненту?

И еще: для x,y от 0 до 1 требуемое неравенство не будет выполняться без добавления чего-то типа +1? Т.е. правильно я понимаю, что в любом случае надо f заменить на (x^2n+y^2n+1,x^2n+y^2n+1)?

(10 Июн '17 14:53) curl
1

@curl: если прибавить 1, то этого должно быть достаточно.

(10 Июн '17 20:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
7 Июн '17 23:26

показан
352 раза

обновлен
10 Июн '17 20:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru