Как найти длину проекции ребра куба (со стороной 1) на плоскость, перпендикулярную диагонали куба и проходящую через ее середину.

Я построила плоскость (сечение куба), она получилась в виде правильного шестиугольника(вершины которого лежат на серединах ребер куба). Не уверена насчет длины проекции куба, но у меня получилась она равная корень из(3/2). Правильно ли это?

задан 25 Янв '13 18:49

изменен 25 Янв '13 19:27

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Перенесено в вопрос.

(25 Янв '13 18:54) Милана

А чем можно пользоваться? Векторы? Скалярное произведение?

(25 Янв '13 18:57) DocentI

да я думаю, любым методом можно решать)

(25 Янв '13 18:58) Милана

Проекция должен быть не больше 1.

(25 Янв '13 19:12) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно элементарным методом. Думаю ответ $%\sqrt\frac{2}3.$% Пусть плоскост $%\alpha$% проходит через точки $%O$%, и $%\alpha\perp B_1D. C_1E\perp \alpha, C_1F\perp B_1D.$% Отрезок $%OE$% проекция $%B_1C_1$% на плоскость $%\alpha.$% Ясно что $%OE=C_1F=B_1C_1sin\angle DB_1C_1=sin\angle DB_1C_1,$% а $%sin\angle DB_1C_1=\frac{DC_1}{B_1D}=\sqrt\frac{2}3. $% alt text

ссылка

отвечен 25 Янв '13 19:10

изменен 25 Янв '13 19:54

я сейчас перерешала получился ответ корень из(3/8), может быть я проекцию не правильно строю, не знаю(

(25 Янв '13 19:26) Милана
1

Векторно тоже получается $%\sqrt {2/3}$%. Проекцию на нормаль к этой плоскости можно найти с помощью скалярного произведения. А дальше используем прямоугольный треугольник.

(25 Янв '13 20:09) DocentI

спасибо большое)

(25 Янв '13 20:15) Милана
10|600 символов нужно символов осталось
2

Хотя здесь уже предложено несколько решений, я сейчас опишу способ, где можно ничего не рисовать, и где рассуждения и вычисления совсем простые. То есть не используется ни векторная алгебра (в смысле разных видов произведений векторов), ни тригонометрия.

Прежде всего, заметим, что из соображений симметрии нам не важно, какой именно вектор проектировать. Далее, плоскость проектирования можно заменить на любую ей параллельную. Рассмотрим тогда единичный куб, координаты всех вершин которого равны $%0$% или $%1$%. Диагональ будет соединять точки $%(0,0,0)$% и $%(1,1,1)$%, а плоскость, ей перепендикулярная, пусть проходит через начало координат. Легко понять, что эта плоскость задаётся уравнением $%x+y+z=0$%.

Когда мы проектируем произвольный вектор на плоскость, и на перпендикулярную её прямую, то он равен сумме проекций. Сумма координат вектора, спроектированного на плоскость, будет у нас равна нулю, а все координаты вектора, спроектированного на прямую, одинаковы.

Выберем одно из рёбер куба, соответствующее вектору с координатами $%(1,0,0)$%, и разложим этот вектор в сумму, описанную выше. Получим равенство $$(1,0,0)=(x,y,z)+(a,a,a),$$ где сумма координат первого слагаемого правой части равна нулю. Сравнивая суммы координат обеих частей, приходим к равенству $%1=3a$%, то есть $%a=1/3$%. Отсюда $$(x,y,z)=(1,0,0)-\frac{1}{3}(1,1,1)=\frac{1}{3}(2,-1,-1).$$ Это и есть искомая проекция. Её длина равна $%\sqrt{2^2+1^2+1^2}/3=\sqrt{6}/3$%. Это число совпадает с тем, которое было найдено выше.

ссылка

отвечен 28 Янв '13 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

$$cos\alpha=\frac{0\cdot1+0\cdot1+1\cdot1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$ Длина проекции $%d=OB\cdot sin\alpha=1\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$%

ссылка

отвечен 25 Янв '13 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,331
×41

задан
25 Янв '13 18:49

показан
2841 раз

обновлен
28 Янв '13 20:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru