Доказать , что для любого целого n существует простое p , такое, что группа Z*p содержит элемент порядка n. Показать что последнее возможно только в случае p≡1(n). Доказать что для фиксированного n существует бесконечно много простых чисел p, p ≡ 1(n).

задан 9 Июн '17 22:23

10|600 символов нужно символов осталось
0

Начнём с конца. Рассмотрим арифметическую прогрессию $%1$%, $%1+n$%, $%1+2n$%, ... . Она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле: в ней первый член взаимно прост с разностью. Поэтому она имеет бесконечно много простых чисел в качестве членов. Возьмём одно из таких простых чисел $%p$%. Для него $%p-1$% делится на $%n$%. Группа $%\mathbb Z_p^{\ast}$% является циклической по теореме о первообразном корне. Пусть $%a$% -- образующий этой группы. Он имеет порядок $%p-1$%, и тогда порядок элемента $%a^{(p-1)/n}$% будет равен $%n$%.

Наличие элемента порядка $%n$% в группе порядка $%p-1$% влечёт делимость $%p-1$% на $%n$% ввиду теоремы Лагранжа о подгруппах, то есть условие $%p-1\equiv1\pmod n$% и необходимо, и достаточно.

ссылка

отвечен 10 Июн '17 0:03

Спасибо большое!

(12 Июн '17 18:34) abstractPaul
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
9 Июн '17 22:23

показан
290 раз

обновлен
12 Июн '17 18:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru