Вычислить криволинейный интеграл $%\int\limits_Lyds,$% где $%L-$% дуга параболы $%y^2=x$%, отсеченная параболой $%y=x^2$%

$%\int\limits_0^1 x^2\sqrt{1+y'^2}dx=\int\limits_0^1 x^2\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{8}\int\limits_0^{{arctg \ 2}} \left(tg^2 t \left(\frac{1}{cos^2 t}\right)^{3/2}\right)dt$%

$%\left[2x=tg \ t, x=\frac{tg \ t}{2}, dx=\frac{dt}{2cos^2 t}, \sqrt{1+4x^2}=\sqrt{\frac{1}{cos^2 t}}\right]$%

задан 10 Июн '17 11:42

изменен 10 Июн '17 17:48

Тут получается кусок параболы y=x^2 между (0,0) и (1,1). После чего применяется стандартная формула дуги кривой.

(10 Июн '17 12:50) falcao

@s1mka: этот интеграл табличный, и его вычислить нетрудно, но у Вас есть ещё множитель y, который Вы пропустили. То есть функцию под знаком интеграла надо на x^2 домножать. Получится нечто чуть более сложное. Я бы решал при помощи замены 2x=tg t.

(10 Июн '17 13:58) falcao

@falcao помогите пожалуйста дальше не получается решить интеграл

(10 Июн '17 14:25) s1mka

@all_exist а так как я пробовала делать не верно сделала замену?

(10 Июн '17 17:47) s1mka

@s1mka: это интеграл технически довольно непростой, хотя можно предложить разные способы его вычисления. Сейчас попробую предложить нечто, напоминающее метод Остроградского -- возможно, так оно быстрее посчитается.

(10 Июн '17 18:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть будет такой способ вычисления интеграла -- для разнообразия (идея примерно такая же, как в методе Остроградского).

Будем искать неопределённый интеграл $%\int x^2\sqrt{1+4x^2}\,dx$% в виде $%\sqrt{1+4x^2}p(x)+q\int\frac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}$%, где $%p(x)$% -- многочлен, и $%q$% -- число. После дифференцирования должно получиться $%x^2\sqrt{1+4x^2}=\frac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}p(x)+\sqrt{1+4x^2}p'(x)+\frac{q}{\sqrt{1+4x^2}}$%. Умножаем на корень квадратный: $%x^2(1+4x^2)=4xp(x)+(1+4x^2)p'(x)+q$%. Слева у нас 4-я степень, поэтому пробуем найти многочлен $%p(x)$% степени 3. Достаточно рассматривать нечётные функции, то есть полагаем $%p(x)=ax^3+bx$%. Тогда $%p'(x)=3ax^2+b$%, и после подстановки имеем $%4x^4+x^2=4x(ax^3+bx)+(4x^2+1)(3ax^2+b)+q$%. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: $%4=16a$%; $%1=3a+8b$%; $%0=b+q$%. Отсюда $%a=\frac14$%, $%b=\frac1{32}$%, $%q=-\frac1{32}$%.

Интеграл с корнем в знаменателе при помощи линейной замены легко сводится к табличному. В итоге мы имеем $%\int x^2\sqrt{1+4x^2}\,dx=\sqrt{1+4x^2}(\frac14x^3+\frac1{32}x)-\frac1{64}\ln(2x+\sqrt{1+4x^2})+C$%. Подставляя в найденную первообразную пределы интегрирования, находим определённый интеграл: $%\int\limits_0^1x^2\sqrt{1+4x^2}\,dx=\frac9{32}\sqrt5+\frac1{64}\ln(\sqrt5-2)$%.

ссылка

отвечен 10 Июн '17 18:47

@falcao почему 3 степени ищем? объясните пожалуйста

(10 Июн '17 21:58) s1mka

@s1mka: у меня это написано. Слева -- степень 4, справа -- p(x) умножается на x. Мы хотим, чтобы степень справа была такая же, поэтому берём степень p равной трём. Но это лишний вопрос, так как мы в конце нашли ответ, а он по-любому единственный. Значит, решение верное, даже если считать гипотезой то, что степень равна 3 (из итога следует, что гипотеза была верна).

(11 Июн '17 0:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ I=\int\limits_{0}^{1} x^2\cdot \sqrt{1+4x^2}\cdot dx = \frac{x^3}{3}\cdot \sqrt{1+4x^2} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\cdot \frac{4x}{\sqrt{1+4x^2}}\cdot dx = $$ $$ = \frac{\sqrt{5}}{3} - \int\limits_{0}^{1} \frac{x^2\cdot (1+4x^2) - x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\cdot dx = \frac{\sqrt{5}}{3} - I + \int\limits_{0}^{1} \frac{ x^2}{\sqrt{1+4x^2}}\cdot dx $$ Во вне интегральных слагаемых я не писал границы в силу не любви к ним местного редактора...

Выражаем $%I$%... а оставшийся интеграл вычисляем тем же способом (интегрируя по частям и получая линейное уравнение)...

ссылка

отвечен 10 Июн '17 17:27

изменен 10 Июн '17 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
10 Июн '17 11:42

показан
663 раза

обновлен
11 Июн '17 0:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru