Пусть $%f$% непрерывна в $%x=0$% и $%\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}=L$%. Доказать что $%f'(0)$% существует и что $%f'(0)=L$%

задан 10 Июн '17 13:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

По определению предела получаем, что $$ \forall\,\varepsilon > 0\;\;\exists\;\delta(\varepsilon) > 0\;:\;\forall\,0 < |x| < \delta\;\Rightarrow\;\left|\frac{f(2x)-f(x)}{x} - L \right| < \varepsilon $$ Перепишем неравенство в следующем виде $$ L - \varepsilon < \frac{f(2x)-f(x)}{2x - x} < L+\varepsilon $$ Считая пока для удобства, что $%x > 0$%, получим, что $$ (L - \varepsilon)\cdot (2x - x) < f(2x)-f(x) < (L+\varepsilon)\cdot (2x - x) $$ $$ (L - \varepsilon)\cdot \left(x - \frac{x}{2}\right) < f(x)-f\left(\frac{x}{2}\right) < (L+\varepsilon)\cdot \left(x - \frac{x}{2}\right) $$ $$ \ldots \ldots \ldots \ldots $$ $$ (L - \varepsilon)\cdot \left(\frac{x}{2^{n-1}} - \frac{x}{2^n}\right) < f\left(\frac{x}{2^{n-1}}\right) - f\left(\frac{x}{2^{n}}\right) < (L+\varepsilon)\cdot \left(\frac{x}{2^{n-1}} - \frac{x}{2^n}\right) $$ Складывая неравенства получим, что при любом $%n$% справедливо неравенство $$ L - \varepsilon < \frac{f(2x)-f\left(\frac{x}{2^{n}}\right)}{2x - \frac{x}{2^n}} < L+\varepsilon $$ Тогда, переходя к пределу при $%n\to\infty$%, получаем $$ L - \varepsilon \le \frac{f(2x)}{2x} \le L+\varepsilon $$

Остаётся сделать вывод...и сказать пару слов про $%x < 0$% ...

ссылка

отвечен 12 Июн '17 12:34

@all_exist: здесь не дано, что f(0)=0, то есть в конце числитель должен иметь вид f(2x)-f(0). Хотя принципиально это ни на что не влияет.

(12 Июн '17 14:03) falcao

@falcao, забыл написать фразу "не уменьшая общности можно считать, что $%f(0)=0$%"... ))) ... там же можно рассмотреть функцию $%F(x)= f(x)-f(0)$%...

(12 Июн '17 14:07) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
10 Июн '17 13:18

показан
293 раза

обновлен
12 Июн '17 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru