Пусть $%f,g:R\rightarrow R$% непрерывны и прообраз компактов при $%f$% и $%g$% - компакт. Доказать, что прообраз компакта при произведении $%fg$% компакт.

Я пытался применить критерий (замкнутость и ограниченность), но не понятно почему прообраз ограниченного множества при произведении ограничен (прообраз замкнутого замкнут по непрерывности).

задан 10 Июн '17 14:38

изменен 10 Июн '17 17:33

я так понимаю, что $%f$% и $%g$% - это функции... следовательно, произведение $%fg$% - это тоже непрерывная функция...

но если это так, то непонятно, откуда возьмётся компактность прообраза?... например, $%f=1$% и $%g=\sin x$%... берём замкнутое множество $%y\in\Big[0;1\Big]$%... прообразом будет $%\cup_{n\in \mathbb{N}} \Big[2\pi n;\; \pi+2\pi n\Big]$%... и это не компакт...

.

или я про что-то не то... (((

(10 Июн '17 15:49) all_exist

Извиняюсь, еще нужно условие про то, что прообраз компактов при каждом из отображений f,g компактен, я исправил условие.

(10 Июн '17 17:34) curl

@curl: если мы берём прообраз множества M при композиции fg (считая, что f действует первым), то сначала берём прообраз при g, получая g^{-1}(M), а затем берём прообраз при f того, что написано. Это даёт (fg)^{-1}(M). Если M был компактом, то его прообразы будут компактами по условию. И тут специфика компактных множеств вообще никак не используется, равно как и непрерывность.

(10 Июн '17 18:03) falcao

Но в условии же не композиция, а произведение (fg)(x)=f(x)g(x)

Или я чего-то не понимаю..

(10 Июн '17 18:13) curl

@curl: это я принял произведение за композицию, хотя у Вас явно фигурирует слово "произведение". Тогда, конечно, решение должно быть другим (а то было бы совсем просто).

(10 Июн '17 18:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обе функции непрерывны, поэтому для них прообраз замкнутого множества замкнут. Произведение также непрерывно, и данным свойством оно обладает. Достаточно проверить, что прообраз ограниченного множества ограничен. Это достаточно проверить для отрезков вида [-C;C]. Пусть x -- точка прообраза, то есть |f(x)g(x)|<=C. Отсюда следует, что |f(x)|<=sqrt(C) или |g(x)|<=sqrt(C). Прообразы отрезков [-sqrt(C),sqrt(C)] ограничены как при f, так и при g. Из сказанного получается, что прообраз [-C;C] при fg содержится в объединении двух ограниченных множеств, и тогда оно тоже ограничено.

ссылка

отвечен 10 Июн '17 20:39

@falcao, ограничены как при f, так и при g. - а периодические функции?... я всё ещё в ступоре... (((

(10 Июн '17 20:58) all_exist

@all_exist: в условии дано, что у функций f и g прообраз компакта (в частности, отрезка) компактен. Это накладывает ограничения: тогда периодические функции типа синуса уже не подойдут.

(10 Июн '17 21:04) falcao

"прообраз [-C;C] при fg содержится в объединении двух ограниченных множеств" -- это, насколько я понимаю, из "|f(x)|<=sqrt(C) или |g(x)|<=sqrt(C)". Но я не понимаю, где используется, что "Прообразы отрезков [-sqrt(C),sqrt(C)] ограничены как при f, так и при g"

(10 Июн '17 21:10) curl

в условии дано - снимаю шляпу... и посыпаю голову пеплом...

(10 Июн '17 21:37) all_exist

@falcao, так как все-таки получается "что прообраз [-C;C] при fg содержится в объединении двух ограниченных множеств"?

(12 Июн '17 21:59) curl

@curl: по-моему, я это изложил. Пусть x -- точка прообраза fg. Тогда |f(x)g(x)|<=C. Следовательно, |f(x)|<=C^{1/2} или |g(x)|<=C^{1/2}. А первом случае x принадлежит f^{-1}([-D,D]), во втором -- принадлежит g^{-1}([-D,D]), где D=C^{1/2}. Значит, x принадлежит объединению двух прообразов отрезков.

(13 Июн '17 0:45) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×339

задан
10 Июн '17 14:38

показан
490 раз

обновлен
13 Июн '17 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru