$%\;\;\;\;$%Рассматриваются плоские сечения правильной пирамиды $%SABCD$%, параллельные боковому ребру $%SB$% и диагонали основания $%AC$%, в которые можно вписать окружность. Какие значения может принимать радиус этих окружностей, если $%AC=1$%, $%\cos\angle SBD=\dfrac{2}{3}$% ?

Ответ: $%0< r\leqslant 1/6$%; $%r=1/3$%. Вообще никаких соображений нет.

Решение.

alt text alt text alt text alt text alt text

Если сечение пересекает основание $%ABCD$% в половине $%ACD$%, то сечение есть треугольник. $%\angle SBD=\beta$%. $$SB=\frac{BH}{\cos{\beta}},\quad MH=\frac{1}{2}SB=\frac{3}{8},\quad AM=\frac{5}{8};$$ $$r=\frac{S}{p}=\frac{1}{6}.$$ Теперь рассмотрим случай, когда сечение пересекает основание в половине $%ABC$%. $$\angle NM'L=\angle AMC=\mu,\quad KE=R+R\cdot \textrm{tg} \frac{\mu}{4}.$$ $$\angle ASC=\angle S, \quad SE=R \cdot \textrm{ctg}\frac{\angle S}{2}.$$ $$R+R \cdot \textrm{tg}\frac{\mu}{4}=\frac{SH-R \cdot \textrm{ctg}\frac{\angle S}{2}}{\sin{\beta}}.$$ $$R=\frac{1}{4}.$$

задан 10 Июн '17 17:21

изменен 13 Июн '17 20:20

10|600 символов нужно символов осталось
2

Что тут такого?... строите сечение через $%AC$%... получаете треугольник... сдвиг сечения в сторону $%D$% снова даёт треугольник... тут всегда можно вписать окружность...

Если сдвигать сечение в сторону $%B$%, то получите трапецию... вот и смотрите когда там можно вписать окружность...

========================================================

Пы.Сы.: считать лениво... но картинку нарисовал...

alt text

ссылка

отвечен 10 Июн '17 18:10

изменен 10 Июн '17 21:35

@all_exist, всё, что Вы написали, понятно даже мне. Непонятно только как это делать -- вот в чём беда. И сечения получаются жуткими пятиугольниками.

(10 Июн '17 18:45) Don_Eduardo

@all_exist, дайте хотя бы черновик Вашего черновика с рисунком, пожалуйста, а то у меня вообще нет соображений.

(10 Июн '17 19:09) Don_Eduardo
1

мдя... про трапецию я загнул - втроём не разогнёшь... (((

ну, сечение, проведённое через $%AC$%, даёт максимум радиусов для треугольников...

про пятиугольник сейчас попробую прикинуть...

(10 Июн '17 19:50) all_exist
1

ну, вычислительности тут много... хотя там в пятиугольнике два угла будут прямыми...

продолжаете пятиугольник до треугольника со стороной в плоскости основания... строите пятиугольник, достраивая касательные к вписанной окружности, перпендикулярные к основанию... и смотрите когда это будет соответствовать сторонам сечения...

(10 Июн '17 20:52) all_exist
1

спидя... какие мы нежные... (((

(11 Июн '17 23:03) all_exist

@all_exist, добавил рисунок. Если сечение пересекает основание в половине $%ABC$%, то сечение -- пятиугольник. Среди всех пятиугольников только в один можно вписать окружность (как это доказать - не могу знать). Если сечение пересекает основание в половине $%DBC$%, то сечение -- треугольник. Тут проблем никаких. Помогите, пожалуйста.

(12 Июн '17 13:34) Don_Eduardo
1

Находите радиус вписанной окружности в треугольник $%LMI$%... и учитывает, что $%GK=2r$%...

(12 Июн '17 13:58) all_exist

@all_exist, всё, с этой задачей покончено, хоть и результат не совпал с ответом (зато моделирование подтвердило, что $%R_{пятиугольник}=\dfrac{1}{4}$%. Помогите с другой задачей по стереометрии, пожалуйста.

(13 Июн '17 20:25) Don_Eduardo

про какую задачу речь?...

(13 Июн '17 21:40) all_exist
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×508

задан
10 Июн '17 17:21

показан
463 раза

обновлен
13 Июн '17 21:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru