Пусть $%f,\phi$% непрерывны на $%\mathbb{R}$% и $%\phi(x)=0$% при $%|x|>5$%. Пусть $%\int_\mathbb{R} \phi(x)dx=1$%. Доказать что $$f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_\mathbb{R}f(x-y)\phi(\frac{y}{h})dy$$ для всех $%x\in \mathbb{R}$%

задан 10 Июн '17 19:30

изменен 10 Июн '17 19:31

ну, замена в интеграле... и предельный переход...

(10 Июн '17 20:08) all_exist

А можно поподробнее?..

(10 Июн '17 21:02) curl

Если $%y=zh,$% то интеграл равен $%\int_R f(x-zh)\phi(z)dz$%, но дальше непонятно

(11 Июн '17 15:24) curl

ну, носитель функции $%\varphi(z)$% ограничен... откуда следует существование равномерного предел по $%h$% у подынтегрального выражения...

вроде и всё...

(11 Июн '17 22:50) all_exist

А где можно подробнее прочитать про утверждение, на которое Вы ссылаетесь?

(12 Июн '17 14:31) curl
1

Фихтенгольц, том 2, п. 506, стр. 659 ...

(12 Июн '17 14:36) all_exist

Спасибо. Только там для собственных, а для несобственных еще надо добавить условие схождения интеграла, да? Если так, то почему он сходится?

Насчет существования равномерного предела тоже не очень понятно: надо $%\forall \epsilon \exists \delta: |h|<\delta \implies \forall x |\phi(z)|\cdot|f(x-zh)-f(x)|< \epsilon$%, как это показать?

(12 Июн '17 16:27) curl

@curl, я уже отмечал, что носитель функции $%\varphi(z)$% ограничен... то есть у Вас после замены получится интеграл по отрезку $%[-5;5]$% ...

(12 Июн '17 17:04) all_exist

Но про f(x-zh) мы же не знаем ничего? Я могу понять, почему $%\int_R \phi(z)dz=\int_{-5}^5 \phi(z)dz$%, но почему интеграл от произведения по прямой равен интегралу по отрезку?

(12 Июн '17 17:08) curl

но почему интеграл от произведения по прямой равен интегралу по отрезку? - потому что один из множителей равен нулю за пределами отрезка...

Но про f(x-zh) мы же не знаем ничего? - мы знаем, что это непрерывная функция... а на ограниченном отрезке она равномерно непрерывна...

(12 Июн '17 17:12) all_exist

Понятно, спасибо. Остается только понять, почему функция $%F(x,z)=f(x-zh) \phi(z)$% сходится равномерно по $%x$% к $%f(x)\phi(z)$%. Это наверное очень просто, но меня смущает предел по $%h$%.. Т.е. я даже не могу понять, правильное ли я определение этой сходимости написал выше.

Если правильное, то |f(x-zh)-f(x)| можно ограничить при |zh|<delta_1. Но что делать с phi(z) непонятно...

(12 Июн '17 18:05) curl

почему функция $%F(x,z)=f(x−zh)\phi(z)$% сходится равномерно по $%x$% - Вам нужен равномерный предел по $%h$%...

как это показать? ..... определение этой сходимости написал выше - всё следует из непрерывности и ограниченности функций...

(12 Июн '17 18:28) all_exist

Но в Фихтенгольце это вроде называется равномерный предел по $%x$% (а не по $%h$%)... (Когда дельта не зависит от $%x$%)

Я не спорю, что "всё следует из непрерывности и ограниченности функций", но мне не видно, как...

(12 Июн '17 18:56) curl

тут икс у Вас вообще фиксирован... поэтому Вы говорите про предел по $%h$%, равномерный по $%z$% ... а это следует из равномерной непрерывности на ограниченном отрезке...

(12 Июн '17 19:00) all_exist

Хорошо, предел равномерный по z. Но как равномерную непрерывность применить детально - неясно.

1) $%\forall \epsilon_1 \exists \delta_1: \forall x, zh\in R,\ |zh|<\delta_1\implies |f(x-zh)-f(x)|<\epsilon_1$%

2) $%\forall \epsilon_2 \exists \delta_2: \forall z,z_0\in R,\ |z-z_0|<\delta_1 \implies |\phi(z)-\phi(z_0)|<\epsilon_2$%

А надо $%\forall \epsilon \exists \delta: \forall z\in R,\ |h| <\delta \implies |\phi(z)|\cdot |f(x-zh)-f(z)|<\epsilon$%

Как выбрать $%\delta$%? Чтобы $%|h|<\delta$%, можно только брать $%\delta_1/|z|$%, но это зависит от $%z$%...

(12 Июн '17 19:23) curl
1

Икс фиксирован...

$%z\in[-5;5]$%... тогда $%\delta_1=5\delta$% ...

$%|\varphi(z)| \le M$% ... осталось для эпсилон связь указать...

Вот собственно и всё...

(12 Июн '17 19:52) all_exist
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
10 Июн '17 19:30

показан
397 раз

обновлен
12 Июн '17 19:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru