Игорь пришел на стрельбище и ему выдали 10 патронов. Он попадает в мишень с вероятностью p=0.15, причем за каждое попадание он получает 3 дополнительных патрона. Найдите математическое ожидание количества выстрелов и округлите до целого.

Спасибо!

задан 10 Июн '17 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Текущее число патронов может принимать значения 0, 1, 2, ... . При попадании, количество патронов увеличивается на 2, при промахе уменьшается на 1. Будем для краткости говорить о состоянии k, если имеется в наличии ровно k патронов.

Обозначим через X случайную величину, равную количеству выстрелов при переходе из состояния 1 в состояние 0. Пусть S=MX. Временно предположим, что это число конечно, и при этом предположении найдём его. В конце дадим обоснование конечности матожидания.

Сразу заметим, что для перехода из состояния k в состояние k-1 (рассматривается первый приход в это состояние) требуется в среднем S шагов, так как наличие дополнительных патронов на процесс никак не влияет. Если мы из состояния k перешли в состояние 0, то совершили k переходов в состояния k-1, затем k-2, и так далее. В среднем это займёт kS шагов. Здесь используется свойство аддитивности матожидания.

Теперь составим уравнение для нахождения S на основе формулы полной вероятности. Пусть p=0,15 -- вероятность попадания в цель, q=1-p -- вероятность промаха. В случае промаха выстрел всего один. В случае попадания мы через один шаг оказываемся в состоянии 3, откуда надо сделать в среднем 3S шагов до нуля. Это значит, что S=q+p(1+3S)=1+3pS, и тогда при p < 1/3 получается S=1/(1-3p). В нашем случае это даёт S=1/0.55=20/11. Если было 10 патронов, то матожидание количества сделанных выстрелов равно 10S=100/11, и округление до ближайшего целого даёт 18.

Теперь осталось обосновать, что S конечно. Величина S есть сумма ряда с общим членом np(n), где p(n) есть вероятность прийти из 1 в 0 за n шагов. Докажем, что все частичные суммы ограничены сверху числом 1/(1-3p). Это делается по индукции на основании почти того же уравнения. База очевидна, а шаг осуществляется так: рассматриваем частичную сумму S(n+1), и замечаем, что она не больше q+(1+3pS(n)) на основании тех же соображений, что и выше. Тогда из неравенства S(n)<=1/(1-3p) следует S(n+1)<=1/(1-3p). Такое рассуждение проходит при любом p < 1/3.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 16:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,660
×215
×101

задан
10 Июн '17 23:57

показан
547 раз

обновлен
14 Июн '17 16:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru