Любое ли натуральное число, кроме 1, 4 и 6, можно представить в виде суммы нескольких (возможно, одного) попарно различных простых чисел?

задан 11 Июн '17 2:19

1

Здесь напрашивается идея применить постулат Бертрана (или его усиления), но её надо технически проработать.

(11 Июн '17 2:48) falcao

@falcao, большое спасибо!

(11 Июн '17 11:15) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
2

Постулата Бертрана здесь в самом деле достаточно. Будем его применять в виде p(n+1) < 2 p(n), где p(n) есть n-е простое число.

Проверим, что для достаточно больших n верно утверждение A(n), состоящее в том, что из чисел p(1), p(2), ... , p(n-1) можно сформировать все суммы (из одного или нескольких попарно различных слагаемых), принимающие значения от 1 до p(n)+6, исключая 1, 3, 4, 6. Прежде всего проверим, что шаг индукции легко проходит. Если A(n) верно, то у нас есть все значения сумм от 7 до p(n)+6 включительно без участия p(n). Прибавляя к ним p(n), имеем отрезок от p(n)+7 до 2p(n)+6 > p(n+1)+6, что даёт A(n+1).

Осталось заметить, что A(n) верно при n=6. Действительно, из чисел 2, 3, 5, 7, 11 можно сформировать суммы со значениями вплоть до p(6)+6=19, за исключением 1, 3, 4, 6. Это очень легко проверяется непосредственно: 19=11+5+3, 18=11+5+2, 17=7+5+3+2, 16=11+5, 15=7+5+3, 14=11+3, 13=11+2, 12=7+5, 11, 10=5+3+2, 9=7+2, 8=5+3, 7, 5, 3, 2.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 16:31

@falcao, большое спасибо!

(15 Июн '17 12:16) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×20

задан
11 Июн '17 2:19

показан
824 раза

обновлен
15 Июн '17 12:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru