Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых графики функций $$f(x)=3^{2x^2-4x+3}+a^3,\;\;\;g(x)=a\cdot 3^{x^2-2x+3}-5$$ имеют ровно три общие точки.

Ответ: $%1$%, $%\dfrac{-1+\sqrt{33}}{2}$%.

задан 11 Июн '17 10:22

@Don_Eduardo В условии все верно? Wolframalpha в обоих случаях показывает по две общие точки https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E%7B2x%5E2-4x%2B3%7D%2B1%5E3%3D13%5E%7Bx%5E2-2x%2B3%7D%2B5 https://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E%7B2x%5E2-4x%2B3%7D%2B((%5Csqrt%7B33%7D-1)%2F2)%5E3%3D((%5Csqrt%7B33%7D-1)%2F2)3%5E%7Bx%5E2-2x%2B3%7D%2B5

(11 Июн '17 10:47) aid78

@aid78, скажу лишь то, что переписал условие из источника правильно. А уж есть ли ошибка или нет -- не могу знать :)

(11 Июн '17 10:51) Don_Eduardo

@aid78: при a=1 Вольфрам показывает три решения. Это видно и на графиках, и аналитически (х=1 упомянуто отдельно).

(11 Июн '17 17:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%y=3^{x^2-2x+1}$%. Уравнение $%f(x)=g(x)$% принимает вид $%3y^2+a^3=9ay-5$%. Это квадратное уравнение, у которого мы учитываем корни со свойством $%y\ge1$%. Для каждого такого корня получается $%(x-1)^2=\log_3y$% с двумя решениями при $%y > 1$% и одним при $%y=1$%. Чтобы число решений было нечётно, необходимо, чтобы $%y=1$% было корнем квадратного уравнения. При этом $%a^3-9a+8=(a-1)(a^2+a-8)=0$%. Это необходимое условие, и теперь надо из трёх возможных вариантов $%a=1$%, $%a=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2$% отобрать те, где корней относительно $%x$% получается ровно три.

Квадратное уравнение относительно $%y$% имеет корень $%y=1$%, а второй корень равен $%3a-1$% с учётом теоремы Виета (сумма корней равна $%9y/3=3y$%). Нам помимо корня $%x=1$% нужны ещё два, а они будут тогда и только тогда, когда $%3a-1 > 1$%, то есть $%a > \frac23$%. Ясно, что $%a=1$% и $%a=\frac{-1+\sqrt{33}}2$% этому неравенству удовлетворяют, а отрицательный корень (с минусом перед $%\sqrt{33}$%) не удовлетворяет. Это даёт заявленный ответ.

ссылка

отвечен 11 Июн '17 17:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×517
×251

задан
11 Июн '17 10:22

показан
424 раза

обновлен
11 Июн '17 17:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru