Решите систему $$ \left\{ \begin{aligned} 4{\cos}^{2}x+{\cos}^{2}5y =4\cos{x}\cdot {\cos}^{6}5y,\\ \lg{{(x-y)}^2}< 2\lg(2\pi)-\lg{5}-\lg{45} &.\\ \end{aligned} \right.$$ Ответ: $$\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{2\pi}{5}+2\pi k \right),\;\;\left( -\frac{\pi}{3}+2\pi k;-\frac{2\pi}{5}+2\pi k \right),\;\;k \in \mathbb{Z}.$$

задан 11 Июн '17 10:41

изменен 11 Июн '17 18:22

Первое неравенство исследуется довольно легко, но во втором написано что-то странное. Почему это вдруг выражение с логарифмами равно трём? Там какое-то отрицательное число стоит. Может, вместо знака = должно быть +? Типа, "shift" по ошибке не нажали.

(11 Июн '17 18:18) falcao

@falcao, точно, сейчас исправлю!

(11 Июн '17 18:22) Don_Eduardo
10|600 символов нужно символов осталось
2

В первом уравнении выделяем полный квадрат, и получается $%(2\cos x-\cos^65y)^2=\cos^{12}5y-\cos^25y=\cos^25y(\cos^{10}5y-1)$%. Правая часть неотрицательна, откуда $%\cos5y=0$% или $%\cos^25y=1$%, что равносильно $%\cos10y=1$%.

В первом случае $%\cos x=0$%. Во втором $%\cos x=\frac12$%.

Неравенство равносильно тому, что $%0 < (x-y)^2 < \frac{4\pi^2}{225}$%, то есть $%0 < |x-y| < \frac{2\pi}{15}$%. Разберём с учётом этого оба случая по отдельности.

Первый случай: $%x=\frac{\pi}2+\pi k$%, $%y=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi m}5$%, где $%k$%, $%m$% целые. Удобно изобразить эти точки на единичной окружности для соответствующих значений углов. Для $%x$% получится две точки. Для $%y$% возникнет правильный 10-угольник, имеющий вершинами обе из точек для $%x$%. Мы знаем, что $%x\ne y$%, а для всех остальных случаев модуль разности углов будет не меньше $%\frac{\pi}5$%, что превышает $%\frac{2\pi}{15}$%. Значит, первый случай не даёт решений.

Второй случай: $%x=\pm\frac{\pi}3+2\pi k$%, $%y=\frac{\pi m}5$%. Снова рисуем точки на окружности. Для $%x$% их будет две, а для $%y$% опять получится правильный 10-угольник, но уже по-другому расположенный. Рассмотрим точки верхней полуокружности, причём удобно рассуждать в градусах. Точки для $%y$% принимают значения 36, 72, ... градусов, и точка 60 градусов для $%x$% расположена между ними. Допустимое значение модуля разности углов строго меньше 24 градусов, и тогда для $%y$% подходит только значение 72 градуса, причём для того же самого значения периода. Для верхней части окружности это даёт $%x=\frac{\pi}3+2\pi k$%, $%y=\frac{2\pi}5+2\pi k$%. Для нижней части, соответственно, будет $%x=-\frac{\pi}3+2\pi k$%, $%y=-\frac{2\pi}5+2\pi k$%. Число $%k$% -- произвольное целое. Это даёт все решения.

ссылка

отвечен 11 Июн '17 18:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,114
×517
×111

задан
11 Июн '17 10:41

показан
443 раза

обновлен
11 Июн '17 18:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru