Найти, используя равенство Парсеваля, сумму $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^2_n+b^2_n,$% где $%a_n,b_n-$% коэффициенты Фурье функции $%f(x)=\sqrt{|x|}, x\in [-\pi,\pi]$%

задан 11 Июн '17 17:57

По формуле, это даст квадрат нормы функции, то есть интеграл от её квадрата. Получится интеграл от |x| по отрезку, то есть 2int_0^п x dx=п^2.

(11 Июн '17 18:10) falcao

@falcao не могли бы вы объяснить пожалуйста почему от 0 до пи, а не от -пи?

(11 Июн '17 19:37) s1mka

@s1mka: потому что функция чётная. Я взял интеграл по правой половине и удвоил.

(11 Июн '17 20:26) falcao

Тут я забыл пронормировать: надо ещё разделить на п, как было в похожей задаче, то есть в ответе будет число п.

(11 Июн '17 20:52) falcao

@falcao подскажите пожалуйста как правильно нужно записывать нормирование? вот мы получили интеграл пи^2 нельзя же просто разделить его на пи

(11 Июн '17 23:34) s1mka

@s1mka: тут оказалось технически чуть сложнее -- в условии не рассматривается a_0. Поэтому я всё изложил подробно, включая вопрос о нормировке.

(12 Июн '17 0:58) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Давайте обсудим более детально, чтобы не совершать ошибок при нормировке.

Система функций $%1$%, $%\cos x$%, $%\sin x$%, $%\cos 2x$%, $%\sin2x$%, ... является ортогональной, но не ортонормированной на отрезке $%[0;2\pi]$%. Чтобы она стала ортонормированной, надо каждую из функций разделить на её длину (норму). Тогда получится система $%\frac1{\sqrt{2\pi}}$%, $%\frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}$%, $%\frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}$%, $%\frac{\cos2x}{\sqrt{\pi}}$%, $%\frac{\sin2x}{\sqrt{\pi}}$%, ... , приводимая во многих учебниках. Именно по отношению к ней применимо равенство Парсеваля.

Функция $%f(x)$% раскладывается в ряд Фурье по обычной системе в виде $%\frac{a_0}2+a_1\cos x+b_1\sin x+\cdots+a_n\cos nx+b_n\sin nx+\cdots$%. В данном случае функция чётна, и все коэффициенты при синусах равны нулю, но не будем обращать на это внимания.

Рассмотрим коэффициенты при функциях ортонормированной системы. Они будут равны $%a_0\sqrt{\frac{\pi}2}$%, $%a_1\sqrt{\pi}$%, $%b_1\sqrt{\pi}$%, ... и так далее. Здесь уже можно применить равенство Парсеваля, которое даст сумму квадратов коэффициентов, то есть $%a_0^2\cdot\frac{\pi}2+\pi(a_1^2+b_1^2+\cdots+a_n^2+b_n^2+\cdots)$%, равное квадрату нормы функции, то есть интегралу от её квадрата. Это $%\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=2\int_0^{\pi}x\,dx=\pi^2$%.

В условии требуется вычислить сумму квадратов коэффициентов Фурье без учёта $%a_0$%. Тогда нам придётся найти этот коэффициент: $%a_0=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{|x|}\,dx=\frac2{\pi}\int_0^{\pi}\sqrt{x}\,dx=\frac43\pi^{1/2}$%. В итоге искомая сумма квадратов равна $%\pi-\frac{a_0^2}2=\frac19\pi$%, и это окончательный ответ.

ссылка

отвечен 12 Июн '17 0:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619

задан
11 Июн '17 17:57

показан
430 раз

обновлен
12 Июн '17 0:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru