|
Используя разложение $%\frac{\pi -x}{2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}$% на отрезке $%[0,2\pi]$% и равенство Парсеваля, найти сумму ряда $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$% задан 11 Июн '17 19:39 
s1mka |
|
Найдём коэффициенты Фурье по формулам с интегралами. Легко видеть, что $%a_n=0$% для всех $%n\ge0$% (можно сделать замену $%x\mapsto\pi-x$%, и получится интеграл от нечётной функции по симметричному отрезку). Для коэффициентов $%b_n$% при помощи интегрирования по частям получится $%b_n=\frac1{\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{\pi-x}2\sin nx\,dx=\frac1n$%. Тогда разложение в ряд Фурье имеет вид $%\frac{\pi-x}2=\sin x+\frac12\sin2x+\frac13\sin3x+\cdots$%. Система из косинусов и синусов здесь является ортогональной, но не ортонормированной. Чтобы получилась ортонормированная, надо каждую из функций разделить на $%\sqrt{\pi}$%. Применим равенство Парсеваля, согласно которому $%b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2+\cdots$% равно квадрату нормы функции, то есть $%\frac1{\pi}\int_0^{2\pi}(\frac{\pi-x}2)^2\,dx$% с учётом деления функций на $%\sqrt{\pi}$%. Несложный подсчёт даёт $%\frac{\pi^2}6$%, то есть это сумма искомого ряда величин, обратных квадратам: $%1+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots$%. отвечен 11 Июн '17 20:40 
falcao @falcao после слов Система из косинусов... что то совсем не ясно мне нужно разделить все это разложения в ряд Фурье на корень из пи? что значит учётом деления функций на корень из πи?
(11 Июн '17 23:34)
s1mka
@s1mka: я только что написал ответ по другой задаче, где подробно описал ортонормированную систему и детали нормировки. Все функции, кроме 1, которой здесь нет, при нормировании делятся на корень из п. Коэффициенты при этом умножаются на ту же величину, а их квадраты умножаются на п. Тогда для нахождения суммы квадратов коэффициентов нам будет нужно совершить деление на п для интеграла, что здесь и осуществляется. Здесь само тождество хорошо известно, и именно оно в итоге и получилось.
(12 Июн '17 1:01)
falcao
|