На доске были записаны числа 2, 9 и 15. Разрешалось сложить два записанных числа, вычесть из этой суммы третье, а резуль- тат записать на доску вместо того числа, которое вычиталось. После многократного выполнения такой операции на доске ока- зались три числа, наименьшее из которых равно 2016. Найдите остальные числа.

Решить-то было нетрудно, так как разность между наибольшим и наименьшим числом всегда 13, а разность между средним и наименьшим может быть только 6 или 7, отсюда два варианта: 2016, 2022, 2029 и 2016, 2023, 2029, причём из первого варианта можно получить второй, и наоборот.

Меня другое волнует. А существует ли вообще последовательность операций, приводящая к тому, что наименьшим числом станет 2016? Ведь без указания такой последовательности решение будет неполным. А вдруг её не существует? Тогда и задача некорректна.

Пожалуйста, помогите решить. Заранее благодарю!

задан 12 Июн '17 1:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вообще-то 2016 здесь получиться могло -- в том числе в качестве наименьшего (сам факт, безусловно, надо доказывать). Рассмотрим числа по модулю 13. Число 1001 делится на 13, и то же для 2002. Поэтому 2016 даёт в остатке 1, и такой остаток надо получить. Изначально имеется тройка 2, 2, 9. Из неё можно получить или 2, 2, 8, или 2, 9, 9. Первая из троек способна дать 2, 8, 8, а из неё уже возникает 1, 8, 8.

Теперь применяем этот процесс к нашему случаю: 2 9 15 -> 2 8 15 (сместили среднее число, получая вместо промежутков 7 и 6 числа 6 и 7). Теперь порождаем 8 15 21, и снова применяем операцию смещения: 8 14 21. От числа 14 и будет отталкиваться. Теперь всё время будем складывать два самых больших числа и вычитать наименьшее. Тогда вместо n n+6 n+13 появится n+19 вместо n. А если было m m+7 m+13, то такая же операция даст m+20. Получатся последовательные тройки из списка 8 14 21 27 34 ... с закономерностью +7, +6, и так периодически. Все числа вида 14+13k появятся, и в какой-то момент получится тройка 2016 2023 2029, из которой за один шаг получается и вторая.

ссылка

отвечен 12 Июн '17 1:52

@falcao, большое спасибо!

(12 Июн '17 9:34) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×370
×211
×86

задан
12 Июн '17 1:12

показан
478 раз

обновлен
12 Июн '17 9:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru