а) Сколько элементов порядка 2, 4, 6 в группе Z2+Z4+Z3 б) Сколько элементов порядка 2, 4, 6 в группе Z2+Z4+Z4+Z5

Как вообще решаются такие задачи? Понятно, как искать количество элементов заданного порядка в одной группе, но как это делать в прямом произведении нескольких групп...

задан 12 Июн '17 15:30

изменен 12 Июн '17 17:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть дана циклическая группа порядка n. Для любого делителя d числа n в ней имеется единственная подгруппа порядка d, также циклическая. Все элементы порядка d ей принадлежат. Их имеется ровно ф(d), где ф -- функция Эйлера.

Если имеется прямое произведение нескольких групп, то порядок элемента (x,y,...) равен НОК порядков компонент. В принципе, это всё, что здесь достаточно знать.

Рассмотрим группу Z2+Z4+Z3. Будем считать операцию умножением. Решим в этой группе уравнение X^2=1. Ему удовлетворяют все тройки вида (x,y,z), где x^2=1, y^2=1, z^2=1. В циклической подгруппе порядка n уравнение X^m=1 имеет d решений, где d=НОД(n,m). Значит, для компонент получается 2, 2, 1 решений соответственно. Это даёт 4 тройки. Одна из них соответствует единичному элементу. Итого будет 3 элемента порядка 2.

Чтобы получить элемент порядка 4, нужно из второй группы взять образующий. Их имеется 2. Из первой группы годится любой из двух элементов. Из третьей -- только 1. Итого 4 элемента порядка 4.

Чтобы получить элемент порядка 6, нужно из Z3 взять образующий. Их два. Из Z2+Z4 надо взять элемент порядка 2. Их, как и ранее, будет три. Получается 6 элементов порядка 6.

Пункт б) решается аналогично. Сразу можно сказать, что элементов порядка 6 не будет, а из Z5 должна браться единица, и можно считать, что слагаемого Z5 нет. В группе Z2+Z4+Z4 уравнение X^2=1 имеет 8 решений. Это значит, что элементов порядка 2 будет 7 (не считая единичный). С другой стороны, уравнению X^4=1 удовлетворяют все 32 элемента группы, и тогда порядок 4 будут иметь 32-8=24 из них.

ссылка

отвечен 12 Июн '17 17:04

Поясните пожалуйста, правильно ли я понимаю? Z3 состоит из элементов 0, 1, 2, порядок 3 имеют элементы 0, 1, 2, но 0 мы не учитываем -> образующих элементов 2, так? Тогда в Z4, которая состоит из элементов 0, 1, 2, 3 порядок 2 имеют элементы 0 и 2, но если мы не учитываем 0, то образующих элементов в группе Z4 всего один. Что я делаю не так?

(12 Июн '17 17:25) Arkon

@Arkon: порядок -- это наименьший из показателей. В этом смысле, 0 имеет порядок 1, а 1 и 2 -- порядок 3. Только я бы для удобства здесь считал, что элементами группы являются e, a, a^2.

В Z4={e,a,a^2,a^3} образующих два: это a и a^3. Элемент e имеет порядок 1, элемент a^2 порядок 2.

(12 Июн '17 17:53) falcao

Большое спасибо, я понял

(12 Июн '17 17:58) Arkon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,019

задан
12 Июн '17 15:30

показан
3327 раз

обновлен
12 Июн '17 17:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru