Доказать, что существует корень $%k$%-ой степени из невырожденного линейного оператора $%A$% (на векторном пространстве над $%\mathbb{C}$%), то есть существует хотя бы один оператор $% B: B^k = A$%.

Набросок (Может быть, я где-то ошибаюсь).

Есть идея (для конечномерных пространств) связанная с многочленом Тейлора. Так как $% A $% - не вырожден, а значит его $% ker(A) = {0} $% и $%Im(A) = V$%, то есть он является изоморфизмом, отсюда следует, что он не имеет нулевых собственных значений. То есть $% \chi_A (t) = \left( t-\lambda_1 \right)^{k_1} \cdots \left( t-\lambda_s \right)^{k_s} $%, где $%\lambda_i \neq 0 \quad \forall i $%.

Для определённого корневого подпространства $% K_{\lambda_i} $% связанного с $% \lambda_{i} $% можем сказать, что (Далее все операторы ограничиваем на данное корневое подпространство $% K_{\lambda_{i}} $%) $$ A = \left(A - \lambda_{i} E \right) + \lambda_{i} E = N + \lambda_{i} E. $$ Причём $% N $% является нильпотентным оператором на данном корневом подпространстве. Тогда $$ \exists n: N^n \equiv 0. $$ Можем построить многочлен Тейлора с конечным числом слагаемых ($% n $% штук): $$ A^{1/k} = \left(N + \lambda_{i} E \right)^{1/k} = B = \lambda_i^{1/k} \sum_{l=0}^{n-1} {1/k \choose l} \left( \frac{N}{\lambda_i} \right)^l $$

И, как я понимаю, исходя из того, что наше пространство $% V = \bigoplus_{i=1}^{s} K_{\lambda_{i}} $% есть прямая сумма всех его корневых. То по теореме о Жордановой форме, каждое $% B_{\lambda_{i}} $% будет являть собой лишь блок нашей матрицы, то есть (теперь на всём пространстве $% V $%) $$ B = A^{1/k} = \left( \begin{array}{cccc} B_{\lambda_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_{\lambda_{2}} & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & B_{\lambda_{s}} \\ \end{array} \right). $$

Возможно ли доказательство в бесконечномерном случае?

задан 12 Июн '17 21:50

изменен 13 Июн '17 3:57

Какова связь между k и m?

P.S. В данном редакторе есть отличие от стандартного TeX'a: вместо скобок в виде доллара, в начале и в конце формулы пишется $% ("доллар+процент").

(12 Июн '17 21:53) falcao

Тут по какой-то мне неясной причине... перестал нормально работать TeX. Притом, что в предпоказе, он выглядит прекрасно

(12 Июн '17 22:59) Cristy

просто местный редактор плохо переносит большое количество индексов у индексов... особенно у скобок (вертикальных чёрточек) ... хотя на предпросмотре это отображается нормально...

(12 Июн '17 23:09) all_exist

Ага)), у меня получилось выяснить это путём различных изменений, спасибо!

(12 Июн '17 23:12) Cristy
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,240
×1,188

задан
12 Июн '17 21:50

показан
357 раз

обновлен
13 Июн '17 3:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru