Сходится ли последовательность $%a_1=1,a_2=\sqrt{7},a_3=\sqrt{7\sqrt{7}}, a_4=\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}$%, и если да, то к какому пределу?

На интуитивном уровне последовательность сходится к 0: $%x=\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{\dots}}}\implies x^2=7x\implies x=0, x=7$%

Но как доказать сходимость и более строго показать, что предел 0?

задан 12 Июн '17 22:23

@curl, как монотонно возрастающая последовательность может сходится к нулю?...

Запишите степень... там будет сумма геометрической прогрессии... и дальше переходите к пределу...

Или проверьте монотонность и ограниченность... и выберите у себя в решении правильный ответ...

(12 Июн '17 22:29) all_exist

Упс, с нулем я погорячился.

Не понял, записать степень чего?

Про монотонность и ограниченность тоже не понятно. $%|a_{n+1}-a_n|=|\sqrt{7a_n}-a_n|...$%

(12 Июн '17 22:44) curl
10|600 символов нужно символов осталось
1

Не понял, записать степень чего? - для всех элементов, кроме первого можно записать формулу $$ a_{n+1} = 7^{\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{2^n}} = \ldots $$

Про монотонность и ограниченность тоже не понятно. - ну, подкоренное выражение увеличивается, следовательно, последовательность возрастает... все элементы ограничены числом 7 сверху...

ссылка

отвечен 12 Июн '17 23:05

Сумма в показателе равна $%\frac{1-2^{-n-1}}{1-2^{-1}}=2-2^{-n}$% и $%\lim a_n=\lim 7^{2-2^{-n}}=7^2$%, как так?

А про монотонность и ограниченность на словах понятно, но это же по-хорошему нужно строго доказать...

(12 Июн '17 23:40) curl

Сумма в показателе равна - там не с единицы суммирование, а с одной второй...

но это же по-хорошему нужно строго доказать... - в чём проблема?... $%a_{n+1} = 7^{2^{-n}}\cdot a_n > a_n$% - возрастает ...

то что все элементы меньше семи тоже в лоб проверить можно... или по индукции...

(12 Июн '17 23:48) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно так (из подсказок из ответа all_exist)?

$%a_n/a_{n-1}=\sqrt{7/a_{n-1}}$%

Докажем, что это больше $%1$%, тогда будет следовать, что $%a_n> a_{n-1}$%

Лемма. $%a_n < 7$% для всех $%n$%. Док-во: $%a_1=1 <7$%. Пусть $%a_{n-1} < 7$% (эквивалентно, $%7a_{n-1} < 49$%, эквивалентно $%\sqrt {7a_{n-1}} < 7$%). Тогда $%a_n=\sqrt {7a_{n-1}} < 7$%.

Значит, $%7/a_{n-1}> 1$%, откуда $%a_n/a_{n-1} > 1$%. Т.е. $%\{a_n\}$% монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому сходится. Предел равен $%7$%, как показано в тексте вопроса.

ссылка

отвечен 9 Авг 5:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,673

задан
12 Июн '17 22:23

показан
211 раз

обновлен
9 Авг 5:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru