Как такое решается: x^3+4x^2+1≡0(mod 50) и 2x^6≡24(mod 507)

задан 12 Июн '17 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

В первом случае ясно, что x должно быть нечётным, и тогда достаточно решить сравнение по модулю 25. При этом имеет место также сравнение по модулю 5, и разбором случаев x=0,1,2,3,4 легко убедиться в том, что подходит только значение 2. Полагаем x=5y+2 и подставляем в сравнение по модулю 25. Подстановка в многочлен и упрощение даёт 15y=0(25), что означает делимость y на 5. Значит, x=25z+2. Ввиду нечётности, x=27(50), и это единственное решение.

Во втором случае сначала сократим на 2, получая x^6=12(507). Ясно, что x кратно 3. Положим x=3y. Тогда 243y^6=4(169), то есть 74y^6=4(169) и 37y^6=2(169). Решая линейное сравнение (скажем, при помощи цепных дробей), приходим к y^6=2^6(169). Тем самым, (y^3-8)(y^3+8) делится на 169. Оба сомножителя делиться не могут, и тогда делится какой-то один. Достаточно рассмотреть сравнение y^3=8(169), так как для второго случая будут обратные знаки у чисел.

Разложение на множители даёт (y-2)(y^2+2y+4)=0(169). Видно, что оба числа одновременно не делятся на 13. Тогда или y=2(169), или (y+1)^2=-3(169). По модулю 13 число -3 является квадратом (числа 6), и тогда y+1=13z+-6, что после подстановки даст +-156z+39=0(169), и z=+-3(13). Отсюда можно найти все решения, но достаточно заметить, что кубическое уравнение относительно y имеет 3 решения, и ещё 3 решения получаются сменой знака. Итого 6 решений сравнения относительно х.

ссылка

отвечен 13 Июн '17 1:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862
×879
×434

задан
12 Июн '17 23:11

показан
573 раза

обновлен
13 Июн '17 1:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru