Какие минимальные многочлены в данных случаях и как показать их минимальность:

а) $%9^{\frac{1}{105}}$% над $%\mathbb{Q}$%

б) $%1 + \sqrt{2}$% над $%\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$%

Если в первом случае непонятно только то, как доказать, что многочлен неприводим, то во втором не очень понятно, как его искать.

задан 13 Июн '17 0:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Во втором случае всё как раз очень просто, потому что элемент принадлежит полю. Действительно, если $%q=\sqrt3+\sqrt2$%, то $%q^{-1}=\sqrt3-\sqrt2$%. Тогда $%\sqrt2+1=\frac12(q-q^{-1})+1\in\mathbb Q(q)$%, то есть минимальный многочлен имеет степень 1.

Во втором случае надо доказать неприводимость многочлена $%x^{105}-9$% над $%\mathbb Q$%. Критерий Эйзенштейна уже не работает, и можно применить следующий способ. Комплексные корни многочлена по модулю равны одному и тому же числу $%3^{2/105}$%. Предположим, что можно представить многочлен в виде произведения двух многочленов степеней $%m$% и $%105-m$% соответственно с рациональными коэффициентами, где $%1\le m < 105$%. Тогда корни первого сомножителя в произведении дадут число, модуль которого равен $%3^{2m/105}$%, а такое число иррационально.

ссылка

отвечен 13 Июн '17 1:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,206
×374

задан
13 Июн '17 0:16

показан
256 раз

обновлен
13 Июн '17 1:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru