Дана функция $%f:\mathbb{N}→\mathbb{N}$% такая, что для всех натуральных $%n$% верно, что $%f(n)+f(n+2)<=2f(n+1)$%. Доказать, что существует прямая, на которой содержится бесконечно много точек вида $%(n,f(n))$%.

задан 13 Июн '17 17:01

изменен 13 Июн '17 17:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположим, что f(m+1) < f(m) для некоторого m. Среди чисел f(m+1), f(m+2), ... рассмотрим наименьшее. Пусть оно равно f(n+1) для некоторого n>=m. Тогда f(n),f(n+2)>=f(n+1), откуда следует f(n)+f(n+2)>=2f(n+1). Отсюда вытекает, что f(n)=f(n+1)=f(n+2), то есть n > m, и наименьшее значение достигается в точках слева и справа от n+1. Из этого следует противоречие, так как мы можем идти влево, пока не дойдём до точки m.

Таким образом, g(n)=f(n+1)-f(n)>=0 для всех m. По условию, g(n+1)<=g(n) для всех значений аргумента, и тогда последовательность целых неотрицательных чисел стабилизируется на некотором значении d. Тогда при всех достаточно больших n числа вида f(n) образуют арифметическую прогрессию с разностью d, а это означает, что точки вида (n,f(n) лежат на некоторой прямой с угловым коэффициентом d.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 11:29

Большое спасибо!

(14 Июн '17 14:09) nikolai
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651

задан
13 Июн '17 17:01

показан
353 раза

обновлен
14 Июн '17 14:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru