Пусть $%M$% - комплексная 3 на 3 матрица, хар. многочлен которой совпадает с хар. многочленом $%\overline{M}$%. Доказать, что у $%M$% есть вещественное собственное значение

задан 13 Июн '17 19:58

Несколько странная задача, потому что вещественность коэффициентов дана в "завуалированной" форме.

(14 Июн '17 3:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Характеристический многочлен для матрицы размера $%3\times 3$% имеет вид $$ \det(M-\lambda E) = \begin{vmatrix} m_{11} - \lambda & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} - \lambda & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} - \lambda \end{vmatrix} = $$ $$ = (-\lambda)^3 + (-\lambda)^2\cdot(m_{11}+m_{22}+m_{33}) + $$ $$ +(-\lambda)\cdot\left( \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} m_{11} & m_{13} \\ m_{31} & m_{33} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} m_{22} & m_{23} \\ m_{32} & m_{33} \end{vmatrix} \right) + \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{vmatrix} $$ В силу свойства комплексного сопряжения $%\overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w}$% и $%\overline{z+ w} = \overline{z}+ \overline{w}$% видим, что для сопряжённой матрицы коэффициенты будут просто сопряжёнными...

Поскольку многочлены для исходной и сопряжённой матрицы совпадают, то получаем, что все коэффициенты многочленов равны своим сопряжённым... то есть все коэффициенты являются действительными... а кубический многочлен с действительными коэффициентами обязательно имеет хотя бы один действительный корень...

ссылка

отвечен 13 Июн '17 23:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
13 Июн '17 19:58

показан
235 раз

обновлен
14 Июн '17 3:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru