Доказать, что группа порядка 51 циклична.

Желательно без применения теорем Силова.

задан 13 Июн '17 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Совсем без теорем Силова, наверное, обойтись трудно -- по крайней мере, нужен более слабый вариант в виде леммы о том, что если порядок конечной группы делится на простое p, то есть элемент порядка p. Здесь мы имеем подгруппу порядка 17 индекса 3, и она имеет наименьший простой индекс, делящий порядок группы. Известный факт состоит в том, что такая подгруппа H нормальна.

Рассмотрим действие группы G сопряжениями на нормальной подгруппе H. При каждом сопряжении H отображается на себя, что задаёт её автоморфизм. Тем самым мы имеем гомоморфизм G в Aut(H). Легко видеть, что Aut(Z_p) имеет порядок p-1 при простом p -- по числу образующих. Выходит, что у нас есть гомоморфизм группы порядка 51 в группу порядка 16. В силу взаимной простоты чисел, образ G единичен. Это значит, что сопряжение элементами G всегда индуцирует тождественный автоморфизм H, то есть G централизует H. Это означает, что g^{-1}hg=h для всех g из G, h из H.

Элемент порядка 3 также имеется, и циклические подгруппы порядка 3 и 17 не пересекаются, а их элементы попарно коммутируют. Тогда ими порождается подгруппа порядка 51, то есть вся группа. Они изоморфна прямому произведению циклических групп взаимно простых порядков, то есть сама циклична.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
13 Июн '17 22:45

показан
339 раз

обновлен
14 Июн '17 0:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru