$%F=\mathbb F_p[x] /(x^3-1)$%, p - простое

Найти $%F^\times$% как сумму циклических групп при $%p=29,31$%

задан 13 Июн '17 23:12

изменен 14 Июн '17 1:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), а сомножители взаимно просты при p не равном 3, получается факторкольцо, изоморфное прямому произведению факторколец F_p по каждому из сомножителей. Понятно, что F_p/(x-1) есть F_p. Структура второго сомножителя зависит от того, приводим ли многочлен x^2+x+1 над F_p. Приводимость означала бы наличие корня в основном поле. Тогда уравнение 4x^2+4x+1=-3 имеет решение по модулю p, то есть -3 является квадратом по модулю p.

При помощи символов Лежандра, или вручную, получаем, что при p=29 решений нет, а при p=31 они есть. Начнём со второго. Элемент x=5 будет корнем многочлена x^2+x+1 по модулю 31, и имеет место разложение на множители: (x-5)(x+6). Тогда факторкольцо по произведению есть прямое произведение F_p на F_p. Группой обратимых элементов F_p^3 является прямая степень циклической группы порядка p-1, то есть для этого случая у нас будет Z_{30}^3.

При p=29 многочлен x^2+x+1 неприводим, и факторкольцо будет полем из p^2 элементов. Его мультипликативная группа циклична порядка p^2-1. Итого имеем прямое произведение Z_{28} на Z_{28x30}, и его можно разложить также в прямое произведение примарных компонент: (Z_4xZ_4xZ_2)xZ_3xZ_5x(Z_7xZ_7).

ссылка

отвечен 14 Июн '17 0:22

Откуда взялось уравнение 4x^2+4x+1=-3?

(14 Июн '17 1:16) Slater

Оно равносильно уравнению x^2+x+1=0. Домножение на 4 по нечётному модулю даёт то же уравнение, а дальше выделяем полный квадрат. Это школьный приём вообще-то.

(14 Июн '17 1:39) falcao

А как узнали, что x=5 - корень? Поочередной подстановкой натуральных чисел?

Почему в поле F_p[x]/x^2+x+1 при p=31 будет p^2 элементов? И чтобы знать, что фактор будет полем, надо знать, что идеал (x^2+x+1) максимален -- почему это так?

(14 Июн '17 1:51) Slater
1

@Slater: то, что 31=5^2+5+1, в принципе, очевидно сразу. Но я рассуждал (про себя) так: нашёл символ Лежандра (-3/31), увидел, что -3 есть квадрат. Рассмотрел числа -3, 28, 59, 90, 121. Увидел точный квадрат. Значит, 2x+1=11, и x=5. Потом я просто сказал, что x=5 будет корнем. Это ведь правда? Значит, лишние соображения можно "спрятать".

Есть простой базовый факт: если P -- поле, то P[X]/(f(X)) также поле, при условии, что f(X) неприводим. Главный идеал будет максимален именно в этом случае. И вообще, полезно мыслить чуть менее абстрактно.

(14 Июн '17 1:56) falcao

Как это -- чуть менее абстрактно? :)

И почему у факторполя мощность p^2? Или это следствие еще какого-нибудь простого базового факта?

(14 Июн '17 2:12) Slater

@Slater: я имел в виду, что на языке неприводимых многочленов всё понимается просто, и понятие это почти школьное. А максимальные идеалы -- это уже некая абстракция. Понять которую как следует можно только в связи с конкретикой типа описанной выше.

Есть стандарный факт о простом алгебраическом расширении. Если P -- поле, f(x) неприводимый над P многочлен степени n, то P[x]/(f(x)) есть поле, имеющее степень n над P. Базис состоит из элементов 1,x,...,x^{n-1}. В случае конечности P, получается поле из P^n элементов. Это "бэкграунд", который надо изучить до решения задач более сложного уровня.

(14 Июн '17 3:22) falcao

А как получилось такое разложение? (Откуда 2 раза Z_4?)

У меня получилось Z_{28x30}=Z_7xZ_{120}=Z_7xZ_5xZ_{24}=Z_7xZ_5xZ_8xZ_3 и Z_{28x30}xZ_28=(Z_7xZ_5xZ_8xZ_3)x(Z_7xZ_4)

(17 Июн '17 19:47) Slater

@Slater: это неправильно. Надо иметь в виду, что прямое произведение Z_m x Z_n изоморфно циклической группе Z_{mn} <=> m и n взаимно просты.

(18 Июн '17 0:12) falcao

Пересчитал через год, сейчас у меня получился тот же ответ, что и в последнем моем комментарии... Фактом про изоморфизм только и пользовался.

И еще в решении надо отметить, что идеалы (x-1) и (x^2+x+1) комаксимальны, чтобы пользоваться китайской теоремой об остатках?

(16 Июл '18 20:15) Slater

@Slater: у меня было сказано о взаимной простоте многочленов. Этого достаточно для применения аналога КТО. Что такое "комаксимальность", можно не знать :)

(16 Июл '18 23:12) falcao

Где можно прочитать про аналог КТО (например, доказательство)? Есть ли у него название?

И где ошибка в этих вычислениях? Я в упор не вижу.

Z_{28x30}=Z_7xZ_{120}=Z_7xZ_5xZ_{24}=Z_7xZ_5xZ_8xZ_3 и Z_{28x30}xZ_28=(Z_7xZ_5xZ_8xZ_3)x(Z_7xZ_4)

(16 Июл '18 23:18) Slater

@Slater: насчёт разложения циклических групп у Вас всё верно. Это у меня была ошибка -- я для циклической группы порядка 28x30 мысленно разложил сомножители по отдельности. Конечно, там Z8xZ4 возникает.

Что касается ссылок, то в учебнике Ленга, по-моему, есть какая-то достаточно общая формулировка. Но она не обязательна, так как здесь всё доказывается по аналогии с обычной теорией чисел. Есть отображение двух конечных множеств одинаковой мощности; оно инъективно. Значит, есть и сюръективность.

(16 Июл '18 23:39) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
13 Июн '17 23:12

показан
711 раз

обновлен
16 Июл '18 23:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru