Пусть $%G$% - конечная группа порожденная 2 различными элементами порядка 2. Показать, что это группа диэдра

задан 13 Июн '17 23:14

изменен 26 Авг '18 18:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть a, b -- порождающие группы. По условию, a^2=b^2=1. Поскольку группа конечна, элемент c=ab имеет конечный порядок n. Случай n=1 невозможен, так как a и b различны.

Соотношения группы в образующих c, b переписываются в виде c^n=1, b^2=1, (cb)^2=1. Последнее можно записать как cb=(cb)^{-1}=bc^{-1}, то есть b^{-1}cb=c^{-1}. Возводя в степень, имеем b^{-1}c^{k}b=c^{-k} для произвольного целого показателя.

Рассмотрим циклическую подгруппу H={1,c,c^2,...,c^{n-1}} элемента c. Она не совпадает со всей группой, так как в циклической группе не может быть двух различных элементов порядка 2. Значит, есть ещё (левый) смежный класс bH, и из соотношения выше следует, что Hb=H, то есть H нормальна в группе. Объединение H U bH даёт всю группу, так как она замкнута относительно умножения. В самом деле, c^{k}bc^m=bc^{m-k}, и bc^{k}bc^m=c^{m-k}, что однозначно определяет таблицу умножения для группы из 2n указанных выше элементов, и получается группа диэдра D_n.

ссылка

отвечен 13 Июн '17 23:56

Убираю свой ответ, как ошибочный.

(14 Июн '17 0:06) Амфибрахий

К концу второго абзаца мы получили представление $%<b,c| (cb)^2=1, b^2=1, c^n=1>$%, т.е. определение группы $%D_n$%. Почему этого недостаточно?

Насчет 3 абзаца. Что значит "еще есть левый смежный класс bH"? (Где он есть?) Почему Hb=H и как из этого следует, что H нормальна (должно же выполняться gH=Hg для любого g из G, а не только Hg=H для g=b)?

(14 Июн '17 1:05) Slater

@Slater: этого вообще-то достаточно. Но вообще-то у нас могли быть какие-то ещё соотношения, которых мы не учли. Поэтому я описал всё в явном виде.

Если G не равно H, то в группе имеется ещё хотя бы один смежный класс, отличный от H. У нас b не принадлежит H, откуда bH даёт второй смежный класс. Для проверки нормальности достаточно равенства bH=Hb, так как cH=Hc=H. Группа порождается b и c, и тогда любое g есть произведение нескольких b,c, откуда gH=Hg. Но если считается, что о структуре группы диэдра мы всё знаем, можно так длинно не рассуждать. По сути, здесь исследуется строение группы.

(14 Июн '17 1:11) falcao

Мы же по сути используем преобразования Тице, которые не добавляют лишних соотношений и не теряют никаких исходных соотношений. Или это неправда? Я просто не понимаю, как у нас могли быть какие-то ещё соотношения, которых мы не учли.

И все же, если описывать в явном виде - что нам дает нормальность H? Откуда взялись элементы в левых частях равенств c^{k}bc^m=bc^{m-k}, и bc^{k}bc^m=c^{m-k}?

(14 Июн '17 1:40) Slater

@Slater: изначально не ясно, на какой уровень подготовки рассчитана задача. Чаще всего бывает нужно всё выводить из основных фактов. Если кто-то знаком с понятием преобразований Тице, то вообще не должно возникать вопроса по задаче такого типа.

Но тут всё равно надо подходить строго, потому что группа может быть гомоморфным образом группы <a,b|a^2=b^2=(ab)^n=1>. Мы же не знаем заранее, что все соотношения учтены? Если бы не было условия, что a не равно b, ничего бы не вышло.

Равенства, которые я выписал, нужна для составления таблицы умножения. Это всё делается для проверки единственности.

(14 Июн '17 1:49) falcao

Добавлю на всякий случай, что группу D_n можно задавать через порождающие и определяющие соотношения, а можно определять геометрически. При этом надо доказывать, что эти группы изоморфны. Те "мелкие" факты, которые я здесь отметил -- часть этого доказательства. Но я подчёркиваю, что при переходе на уровень "знатока" задача не имеет смысла как таковая -- там надо только проверить, что в любом гомоморфном образе элементы a и b совпадут (или n уменьшится).

(14 Июн '17 1:51) falcao

Что формально значит, что "Соотношения группы в образующих c, b переписываются в виде..." и почему они переписываются в таком виде?

(26 Авг '18 1:41) Slater

@Slater: у нас были равенства относительно a,b. Вводим новую переменную c=ab, и избавляемся в равенствах от a=cb^{-1}. Получаются соотношения относительно b,c. То есть это правило замены переменных.

Тот факт, что так всегда можно делать, плюс дополнительные разумные соображения того же рода -- это теория преобразований Тице. Этот материал полезно прочитать в учебниках по комбинаторной теории групп. Он достаточно элементарен, но при этом весьма полезен.

(26 Авг '18 11:25) falcao

Мы сначала добавляем образующий c. Получается из исходного представления представление a,b,c | a^2=1, b^2=1, c^n=1. Потом надо удалить образующий а. Для этого, согласно википедии (https://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_transformations#Removing_a_generator ) надо, чтобы в списке соотношений было соотношение, в котором а выражается как слово из b,c. Где это соотношение?

(26 Авг '18 18:04) Slater

@Slater: была группа < a,b | a^2=b^2=(ab)^n=1 >. Мы добавляем новый образующий элемент c=ab вместе с соотношением, которое выражает c через ab -- в точности по правилам преобразований Тице. Получается изоморфная группа < a,b,c | a^2=b^2=(ab)^n=1, c=ab >. Из этих соотношений следует, что a=cb^{-1}, с^n=1, (cb^{-1})^2=1. Добавляем эти следствия. Далее замечаем, что b^2=1, (ab)^n=1, c=ab можно удалить, так как они вытекают из того, что остаётся. Потом удаляем образующий a вместе с соотношением a=cb^{-1}. Это довольно простая техника, но к ней надо привыкнуть, чтобы потом всё делать быстро.

(27 Авг '18 11:28) falcao

Можно в конце рассуждать так? Мы получили группу с образующими и соотношениями такими же, как у D_n. Мы знаем, что D_n существует, поэтому в группе, порожденной такими образующими и соотношениями по меньшей мере 2n элементов. Но в группе с данным представлением по большей мере 2n элементов (каждый элемент записывается единственным образом как a^ib^j где 0<=i<2, 0<=j<n). Значит группы изоморфны.

(30 Авг '18 6:22) Slater

Добавок к предыдущему комментарию.

Единственный мутный момент: изначально мы знаем что a^2=b^2=1, (ab)^n=1. И отсюда заключаем, что группа изоморфна группе представленной образующими а, b и этими соотношениями. Почему это можно заключить? Может в группе есть еще какие-то соотношения, которые не следуют из трех соотношений выше?

(30 Авг '18 6:23) Slater

@Slater: у меня в тексте есть опечатка: написано Hb=H, но имелось в виду, что b^{_1}Hb=H.

Я старался рассуждать так, чтобы все факты следовали напрямую. Верно то, что помимо выписанных соотношений могут быть априори какие-то ещё, которые мы не учли. Поэтому готовую структуру группы диэдра в терминах образующих и соотношений мы использовать не можем. Но там можно было (хотя не нужно) заключить, что перед нами как минимум гомоморфный образ D_n. Если это не сама группа, то получается нечто циклическое, где элемент порядка 2 всего один. Это было учтено при доказательстве.

(30 Авг '18 16:06) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
13 Июн '17 23:14

показан
408 раз

обновлен
30 Авг '18 16:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru