Пусть $%G$% - конечная группа порядка $%n\ge 2$%

1) Доказать, что $%G$% изоморфна подгруппе $%GL_n(\mathbb Z)$%

2) Доказать или опровергнуть: $%G$% изоморфна подгруппе $%GL_{n-1}(\mathbb Z)$%

задан 14 Июн '17 2:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Оба факта верны. Первый следует из того, что конечная группа порядка $%n$% изоморфно вкладывается в $%S_n$% по теореме Кэли, а симметрическая группа изоморфно представима мономиальными матрицами. Действительно, можно рассмотреть линейное пространство с базисом $%e_1$%, ... , $%e_n$%, и каждая подстановка действует на множестве индексов, переставляя элементы базиса. Эти задаётся линейное преобразование. Его матрица мономиальна, то есть каждая и строка и каждый столбец имеет ровно по одной единице, а остальные элементы матриц нулевые.

Для второго пункта можно рассмотреть следующее усиление. Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов, у которых сумма координат равна нулю. Оно имеет базис $%f_1=e_1-e_n$%, $%f_2=e_2-e_n$%, ... , $%f_{n-1}=e_{n-1}-e_n$%. При действии группы $%S_n$%, подпространство является инвариантным. При этом нетождественная подстановка задаёт нетождественное линейное преобразование (достаточно взять все коэффициенты попарно различными с нулевой суммой). В итоге получаем вложение уже в $%GL_{n-1}(\mathbb Z)$%.

Для иллюстрации: рассмотрим группу $%\mathbb Z_3$% и вложим её в $%GL_2(\mathbb Z)$%. Сначала вложим её в $%S_3$%, рассматривая цикл $%(123)$%. На базисе $%f_1$%, $%f_2$% действие цикла таково: $%f_1=e_1-e_3$% переходит в $%e_2-e_1=f_2-f_1$%, и $%f_2=e_2-e_3$% переходит в $%e_3-e_1=-f_1$%. Получается матрица со столбцами из координат образов, равная (-1 -1// 1 0).

ссылка

отвечен 14 Июн '17 3:09

Что значит "изоморфно представима"? Также чем отличается "вкладывается" от "изоморфно вкладывается"?

(27 Июн '18 3:47) Slater

@Slater: есть стандартное выражение "группа представима..." (матрицами, подстановками, etc). Вообще говоря, под представлением (линейным) принято понимать гомоморфизм абстрактной группы G в группу матриц. Если мы хотим изоморфного вложения (=вложения), то уместно это подчеркнуть именно в такой форме.

Здесь на самом деле всё можно сказать и по-другому, без использования жаргона.

(27 Июн '18 4:24) falcao

Так в нашем случае "симметрическая группа изоморфно представима мономиальными матрицами" означает, что есть инъективный гомоморфизм из S_n в группу мономиальных матриц?

(27 Июн '18 5:14) Slater

@Slater: да, конечно. Здесь это вложение в явном виде построено.

(27 Июн '18 5:21) falcao

Как увидеть, что f_i составляют базис?

В третьем абзаце что значит "вложим, рассматривая цикл"? Если исходить из теоремы Кэли, то чтобы построить вложение, сначала надо определить действие Z_3 на себе левым умножением на какой-то элемент (на какой?), а потом построить соответствующий гомоморфизм.

(28 Июн '18 3:32) Slater

@Slater: то, что в подпространстве, образованном векторами с нулевой суммой координат, образуют базис векторы (1,0,...,0,-1), (0,1,...,0,-1), (0,0,...,1,-1), очевидно. Это очень простое упражнение из начального курса линейной алгебры. Для иллюстрации: если a+b+c+d=0, то (a,b,c,d)=(a,b,c,-a-b-c)=a(1,0,0,-1)+b(0,1,0,-1)+c(0,0,1,-1). Любой вектор пространства представляется в виде линейной комбинации векторов системы, причём однозначно. Это одно из определений базиса.

В последнем абзаце группа Z3 уже вложена в S3 как порождённая тройным циклом.

(28 Июн '18 4:29) falcao

А если $%\mathbb Z$% заменить на $%\mathbb C$% заменить, это будет работать?

(1 Июл '18 4:49) Slater

@Slater: конечно, будет -- ведь GL(Z) содержится в GL(C). Но такой факт будет очевидным ослаблением.

(1 Июл '18 12:42) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,518

задан
14 Июн '17 2:30

показан
369 раз

обновлен
1 Июл '18 12:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru