Построить явный изоморфизм $%\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]/(7)\cong\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]/(7)$%

задан 14 Июн '17 2:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

То и другое можно записать в виде факторколец $%\mathbb Z_7[x]/(x^2+1)$% и $%\mathbb Z_7[x]/(x^2+2)$%. Оба многочлена неприводимые, и получается поле из 49 элементов в том и в другом случае. Явный изоморфизм строится так: первое поле состоит из элементов вида $%y=a+bx$%, где $%a,b\in\mathbb Z_7$%. Нужно решить уравнение $%y^2+2=0$%. Ясно, что $%y^2=a^2+2abx+b^2x^2=a^2-b^2+2abx=-2$% имеет решение $%a=0$%, $%b=3$%. Значит, достаточно рассмотреть отображение, переводящее $%y$% из второго факторкольца в $%3x$% в первом кольце. Элементы $%a+by$% перейдут в $%a+3bx$%, и это будет изоморфизм, что проверяется непосредственно.

Если совсем упрощённо, то идея в том, что $%\sqrt{-2}=\sqrt{-9}=3\sqrt{-1}$%.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 3:18

изменен 3 Июл '17 17:05

Я запутался с обозначениями. Сначала через у обозначался элемент "первого" кольца. Потом рассматривается отображение, переводящее у из второго факторкольца в 3х в первом. Это разные у?

(1 Июл '17 23:35) Slater

@Slater: суть здесь дана в последней строчке. Из этого всю нужную информацию можно однозначно восстановить, так как уже ясно, что и куда переходит. "Иксы" или "игреки" -- это не так важно, потому что мы сами вводим эти обозначения. Можно этого не делать, а построить два гомоморфизма, про которые далее проверяется, что они взаимно обратны. Из Z[x] строим гомоморфизм в Z7[x], переводя x в 5x, а потом факторизуем по (x^2+2). Тогда x^2+1->25x^2+1=4x^2+8=4(x^2+2)=0, то есть x^2+1 лежит я ядре, и через (x^2+1) всё пропускается. В обратную сторону x переводим в 3x. Это Вы сами легко могли сделать.

(2 Июл '17 0:51) falcao

@falcao: но такая конструкция дает гомоморфизм из Z[x]/(x^2+1) (а не из Z7[x]/(x^2+1), что нам нужно) в Z7[x]/(x^2+2), а также гомоморфизм из Z[x]/(x^2+2) (а не из Z7[x]/(x^2+2)) в Z7[x]/(x^2+1)?

А, или надо еще раз такое же проделать? Т.е. 7+(x^2+1) лежит в ядре отображения из Z[x]/(x^2+1) в Z7[x]/(x^2+2), поэтому существует гомоморфизм из Z7[x]/(x^2+1) в Z7[x]/(x^2+2)?

(3 Июл '17 16:49) Slater

@Slater: когда мы строим гомоморфизмы этого типа, то можно начинать с Z[x], а потом рассматривать композиции. Есть гомоморфизм Z на Z7, по нему строим индуцированный гомоморфизм колец многочленов Z[x]->Z7[x]. Теперь из Z7[x] в Z7[x] строится гомоморфизм, переводящий 1 в себя и x в 5x; он определён однозначно. Потом смотрим на ядро. Здесь, чтобы проверки были проще, можно сразу начать с поля Z7 и кольца Z7[x]. Важно, что мы и так заранее знаем, что хотим получить, и именно это строим, чтобы меньше фактов по ходу дела проверять.

(3 Июл '17 16:57) falcao

@falcao: так вроде понятно. А таких изоморфизмов много? Можно же переводить не x в 5х, а х в 2х. Тогда ядро все еще будет содержать (x^2+1).

И тут, получается, без построения обратного отображения никак не обойтись?

(3 Июл '17 17:12) Slater

@Slater: да, изоморфизм тут не один. Можно переводить x в 2x, но тогда в обратную сторону будет x->-3x, чтобы композиция была тождественной. С построением обратного отображения доказательство выглядит проще всего, так как оба гомоморфизма строятся по одному шаблону. Если строить только один, то надо отдельно обосновывать инъективность и сюръективность. А при наличии двух отображений мы всего лишь проверяем тождественность двух композиций, что здесь сразу очевидно. Это часто используемый приём.

(3 Июл '17 17:33) falcao

@falcao: а как понять, кроме как методом проб, что если х переходит в 2х, то обратное должно переводить х в -3х? (Возможно, это как-то следует из последней строчки в ответе, но непонятно, как именно.)

(3 Июл '17 17:40) Slater

@Slater: то, что в Z7 обратным элементом для 2 будет -3 (а это нужно для тождественности композиций), всецело очевидно. Допустим, мы не хотим все варианты перебирать. Тогда для любого нечётного n обратным элементом для 2 в кольце Z_n будет (n+1)/2, что проверяется через перемножение.

(3 Июл '17 17:44) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
14 Июн '17 2:35

показан
426 раз

обновлен
3 Июл '17 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru