1) Доказать, что группа $%Aut(\mathbb Z_n) $% - абелева

2) Найти порядок группы автоморфизмов $%G=\mathbb Z_5 \oplus \mathbb Z_{25}$%

3) Абелева ли $%Aut(G)$%?

задан 14 Июн '17 2:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Автоморфизм циклической группы переводит образующий в образующий, то есть в элемент вида $%a^k$%, где $%k$% и $%n$% взаимно просты. Этим задаётся автоморфизм $%f_k(a)=a^k$%.

Непосредственно проверяется, что $%f_k$% и $%f_m$% всегда коммутируют. Достаточно сравнить действие на образующих: $%f_kf_m(a)=f_k(a^m)=(a^m)^k=a^{mk}=(a^k)^m=f_m(a^k)=f_mf_k(a)$%.

2) См. здесь аналогичную задачу, а также общее описание по внутренней ссылке.

3) Пример двух некоммутирующих автоморфизмов группы G приводится по аналогии со случаем $%p=3$%.

ссылка

отвечен 14 Июн '17 3:51

Какое именно свойство автоморфизма используется в 1) чтобы заключить, что образующая переходит в образующую? Только сюръективность?

(23 Сен '17 22:07) Slater

@Slater: изоморфизм (а потому и автоморфизм) всегда сохраняет все "существенные" свойства группы. Поэтому вывод очевиден из общих соображений. Но вообще-то одной сюръектвности было бы достаточно, так как если группа состоит из степеней a, то гомоморфный образ относительно f состоит из степеней f(a).

(23 Сен '17 22:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
14 Июн '17 2:38

показан
461 раз

обновлен
23 Сен '17 22:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru