$%\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{x}{1-2acos(x)+a^2}dx, a^2 < 1$%

Этот интеграл возник в процессе вычисления интеграла:

$%\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-2acos(x)+a^2}dx$% , где $%m \in \mathbb N , a^2 < 1$%

В процессе вычисления несколько раз раскладывал некоторые функции в ряды Фурье, однако все свелось к нему, и я не знаю, что делать.

задан 15 Июн '17 5:38

изменен 15 Июн '17 5:40

вроде такие интегралы сводятся к интегралу по окружности на комплексной плоскости ... хотя, если это матан, то наверное подразумевается что-то иное...

(15 Июн '17 12:12) all_exist

@all_exist точно нет, у нас тема сейчас ряды Фурье, а комплексного анализа не было в программе вообще

(15 Июн '17 12:38) kotkatyakot
10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно разложение в ряд Фурье:

$%\frac{1-a^2}{1-2acos(x)+a^2} = 1 + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^n cos(nx)$%

Тогда:

$%\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-2acos(x)+a^2}dx = \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-a^2}\cdot\frac{1-a^2}{1-2acos(x)+a^2}dx = \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-a^2}\cdot(1 + 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}a^n cos(nx))dx =$%

$% = \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-a^2}dx + \frac{2}{1-a^2}\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\pi}a^nxcos(mx)cos(nx)dx$%

Оба этих интеграла достаточно легко считаются, первый по частям, второй раскладываем в разность косинусов и берем по частям. Также отдельно надо рассматривать случай $% m = 0 $%. При $% m \neq 0$% имеем первый интеграл равным нулю, а в сумме все интегралы равны нулю, кроме случая $% m =n $%, в котором интеграл равен $% a^m \pi^2$% .

$% \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{xcos(mx)}{1-2acos(x)+a^2}dx = \frac{2a^m\pi^2}{1-a^2} $%, при $% m \in \mathbb N , m >0, a^2 < 1$%

Поправьте, если что-то не так.

ссылка

отвечен 15 Июн '17 19:43

изменен 16 Июн '17 4:38

Известно разложение в ряд Фурье: - вроде интеграла там не должно быть...

(15 Июн '17 21:58) all_exist

В итоге оба они равны нулю. - слабо верится, что при $%n=m$% интеграл во второй сумме будет нулевым, поскольку $%x\cdot\cos^2(mx)$% неотрицательная функция на отрезке $%[0;2\pi]$%...

(15 Июн '17 22:01) all_exist

@all_exist да, действительно, интеграла там нет. А вот с интегралом интересно, там получается что при $% m \neq n $% он равен нулю. А при $% m = n $% вылезает $% a^m \pi^2 $%, сейчас отредактирую, спасибо.

(16 Июн '17 4:21) kotkatyakot
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618
×1,265

задан
15 Июн '17 5:38

показан
477 раз

обновлен
16 Июн '17 4:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru