Найти все решения x^2+y^2=z^4 во взаимнопростых натуральных (x,y,z)

задан 16 Июн '17 3:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Из описания пифагоровых троек легко получить все решения данного уравнения. Так, $%(x,y,z^2)$% есть неприводимая пифагорова тройка, и тогда существуют взаимно простые натуральные числа $%m > n$% разной чётности, для которых $%z^2=m^2+n^2$%. Получается снова неприводимая пифагорова тройка $%(m,n,z)$%, откуда делаем вывод, что существуют взаимно простые натуральные $%u$%, $%v$% разной чётности, для которых $%z=u^2+v^2$%, $%u > v$%, и либо $%m=u^2-v^2$%, $%n=2uv$%, либо $%n=u^2-v^2$%, $%m=2uv$%. В первом случае $%u^2-v^2 > 2uv$%, во втором $%u^2-v^2 < 2uv$%. То есть в первом случае $%\frac{u}v > \sqrt2+1$%, во втором $%1 < \frac{u}v < \sqrt2+1$%.

Теперь описание готово. Загадываем любые взаимно простые натуральные числа $%u$%, $%v$% разной чётности. По ним находим значения $%m$%, $%n$%, указанные выше. Тогда $%z=u^2+v^2$%, а $%x$%, $%y$% принимают значения $%m^2-n^2$% и $%2mn$% в том или ином порядке.

Конкретные примеры решений: $%(7,24,5)$%, $%(119,120,13)$%, $%(161,240,17)$%, и так далее.

ссылка

отвечен 16 Июн '17 5:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862
×879
×433

задан
16 Июн '17 3:13

показан
387 раз

обновлен
16 Июн '17 5:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru