Пусть L - мера на сигма алгебре подмножеств X и {An|n>0} - произвольная последовательность множеств из этой сигма алгебры
Показать что : $$L(\lim_{n \to inf}A_n) <=\lim_{n \to inf}L(A_n)$$ где $$lim_{n \to inf} $$ - нижний лимит последовательности

задан 16 Июн '17 21:19

изменен 16 Июн '17 23:28

1

А что за странное обозначение x->inf? Откуда здесь x?

Что касается самого неравенства, то liminf для множеств есть объединение пересечений вида A_kA_{k+1}... по всем k>=n. Достаточно доказать неравенство для каждого k. Если правая часть равна a, то существует подпоследовательность L(A_{n_m})->a. Её члены присутствуют в любом бесконечном пересечении, поэтому L(A_kA_{k+1}...)<=L(A_{n_m}}) для любого достаточно большого m, и остаётся перейти в пределу в неравенствах при m->infty.

(16 Июн '17 22:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Выделим ту подпоследовательность множеств $%A_{n_k},$% на которой реализуется нижний предел в правой части неравенства. Понятно, что каждое из множеств $%\cap_{m>n}A_m$% содержится во всех членах выделенной подпоследовательности, начиная с некоторого, поэтому, начиная с этого члена, $%L(\cap_{m>n}A_m)\leq L(A_{n_k}).$% Переходя к пределу сначала в правой, а, затем, в левой части полученного неравенства, получаем требуемое.

ссылка

отвечен 16 Июн '17 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×251

задан
16 Июн '17 21:19

показан
262 раза

обновлен
16 Июн '17 23:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru