В клетках квадратной таблицы 7 × 7 расставлены числа 0, 1 и −1 так, что сумма чисел любого квадрата 3 × 3 равна 0.

Найдите наибольшее возможное значение суммы всех чисел таблицы.

(Автор задачи - О. Крыжановский)

задан 17 Июн '17 16:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

В любом квадрате 6x6 сумма чисел равна нулю. Поэтому сумма чисел в квадрате 7x7 равна сумме чисел в объединении первой строки и первого столбца. Чисел там всего 13, и сумма не превосходит 13. Принимать значение 13 она не может. Действительно, в этом случае получилось бы, что на указанных местах стоят все единицы, но тогда в угловом (слева сверху) квадрате получится 5 единиц, и их не скомпенсировать числами -1 в количестве 4 штук.

Пример с суммой 11 строится так: берём угловой квадрат 3x3 и заполняем его по строкам числами 1 1 0 // 1 -1 -1 // 1 -1 -1. Далее периодически продолжаем вправо и вниз с периодом 3. Первый столбец будет состоять из единиц, а в первой строке появятся два нуля. Сумма равна 11.

Остаётся показать, что сумма 12 невозможна. Если вдруг оказалось так, что в пределах первой строки и первого столбца у нас всего один ноль и 12 единиц, то такое же явление имеет место в пределах последней строки и последнего столбца. Тогда из четырёх угловых квадратов найдётся хотя бы один, по границе которого находятся 5 единиц, а такой случай, как это уже было сказано, невозможен.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 17:42

@falcao, большое спасибо!

(18 Июн '17 11:35) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×530
×211
×98

задан
17 Июн '17 16:09

показан
862 раза

обновлен
18 Июн '17 11:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru