Найдите наименьшую среди всех цепных дробей $%(a_0;a_1;..;a_8)$% таких, что $%a_0 + a_1 + ... + a_8 = 60$% и $%a_0 > a_1 > ... > a_8$%.

Мое решение. Ясно, что для нахождения минимальной дроби нужно максимизировать значения $%a_8$%, затем $%a_7$% и так дальше. Пусть $%a_8 = x$%, тогда $%\sum(a_i) = \dfrac{9(x + (x+8))}{2} = 60 <=> 9(2x + 8) = 120 <=> 6x + 24 = 40 => x = 8/3$%. Возьмем целую часть: $%x = [8/3] = 2$%. Проверим сумму при x = 2: $%\dfrac{9(2 + 2 + 8)}{2} = 54$%. Значит, необходимо изменить сумму на 6 так, чтобы мы получили минимальное число из возможных. Для этого нужно прибавить к $%a_5$% единицу, и тогда: $%(11;10;9;8;7;6;4;3;2) = 9 + 20 + 18 + 13 = 38 + 22 = 60.$%

Укажите правильность решения.

задан 17 Июн '17 16:25

изменен 17 Июн '17 17:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для минимизации значения цепной дроби нужно выбирать минимально возможное a0 (целая часть). Далее при фиксированном a0 выбирать максимально возможное a1. Потом a2->min, a3->max, и так далее.

Ясно, что a0=10 не хватит, так как сумма оставшихся чисел не превосходит 2+...+9=44. Полагаем a0=11. Максимально возможное значение a1 равно 10. Сумма остальных 7 чисел равна 39. У конечной цепной дроби, по определению, последний элемент не равен 1. Тогда на семь последних чисел в сумме придётся не менее 2+...+7+8=35. Брать a2=8 мы не можем, так как это единственный вариант. Полагаем a2=9 (меньше не получается). Далее a3=8 (максимум). На пять последних чисел приходится сумма 22. Значение a4=6 невозможно, так как далее возникает единственный вариант 2+3+4+5+6 с суммой 20. Берём a4=7 (минимум), a5=6 (максимум), и далее однозначно идут 4, 3, 2.

Итого минимум равен [11;10,9,8,7,6,4,3,2]=11156619/1005199.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 17:12

изменен 17 Июн '17 17:57

1

Вы забыли про условие $%a_0 > a_1..$%, иначе как понимать $%a_0 = 11, a_1 = 14$%?

(17 Июн '17 17:25) log0

Да, действительно! В начале я вообще пропустил это условие, решая задачу без этого ограничения, и вышло [1,9,1,9,4,9,9,9,9]. Такая задача также представляет интерес.

Сейчас внесу исправления.

(17 Июн '17 17:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,476
×1,300

задан
17 Июн '17 16:25

показан
664 раза

обновлен
17 Июн '17 17:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru