1) Привести пример нетривиальной группы $%G$% и автоморфизма $%\phi$% таких что $%\{e\}$% - единственный класс сопряженности $%G$%, который при действии $%\phi$% переходит в себя

2) Показать, что в случае $%G=S_5$%, $%g$% и $%\phi(g)$% сопряжены $%\forall g\in G$%

задан 17 Июн '17 17:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Тут подходит пример циклической группы порядка 3 и её автоморфизма, переводящего элементы в обратные. Ясно, что в абелевой группе все к.с.э. одноэлементны, и здесь e остаётся на месте, а два других элемента переставляются.

2) Можно сослаться на теорему Гёльдера, согласно которой у группы S_n все автоморфизмы внутренние, если n не равно 6. Тогда g и ф(g) сопряжены по определению.

Если не ссылаться на "сильный" факт, то можно выписать длины всех к.с.э. в S5. Это несложный комбинаторный подсчёт. Получается {e} (длина 1), транспозиции (10 штук), произведение двух независимых транспозиций (15), тройные циклы (20), произведение тройного цикла и транспозиции (20), циклы длиной четыре (30), циклы длиной пять (24). В сумме это даёт 120, то есть порядок группы. Сопряжённые элементы при автоморфизме переходят в сопряжённые, поэтому к.с.э. переходит в к.с.э. Здесь возникает два класса одной мощности 20, но переходить друг в друга они не могут, так как порядки элементов одного класса равны 3, а другого 6. В итоге каждый класс сопряжённости отображается на себя.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 20:21

А если в п.1 говорить про неабелевы группы, то такие есть?

(17 Июн '17 20:30) Slater

@Slater: думаю, что да, только пока непонятно, какой пример будет самым простым. Можно взять свободную группу ранга 2 с образующими a,b и рассмотреть автоморфизм типа a->ab, b->b. Если не ошибаюсь, при этом никакое слово не переходит в свой циклический сдвиг, то есть никакой элемент не перейдёт в сопряжённый.

(17 Июн '17 23:06) falcao

А конечные "самые известные" неабелевы группы (малых порядков) не подходят? (Если да, то это очевидно?) Просто это первые неабелевы группы, которые приходят в голову, и раз Вы с про них не сказали, полагаю, что они не годятся. Или Вы про них не думали и сразу про F_2 подумали?

(17 Июн '17 23:13) Slater

@Slater: для конечных неабелевых я пока не знаю примера. Симметрические группы не проходят ввиду теоремы Гёльдера, и там даже для S6, где имеется внешний автоморфизм, но там циклы длиной 5 переходят в сопряжённые. Также не проходят конструкции типа GxG с перестановкой сомножителей, так как элементы с равными компонентами перейдут в себя, и так далее. Сам по себе вопрос весьма интересен.

(17 Июн '17 23:34) falcao

произведение двух независимых транспозиций (15) -- почему 15?

C_5^2\times (2!/2) \times C_3^2 \times (2!/2)=10 \times 3=30

(20 Июн '17 21:15) Slater

@Slater: я не знаю, каков принцип Вашего подсчёта, но думаю, что Вы где-то забыли поделить на 2. Выбираем 5 способами тот элемент, который не входит в транспозиции. Оставшиеся 4 элемента a,b,c,d разбиваем на пары. Таких способов три: (ab)(cd), (ac)(bd), (ad)(bc). Способ определяется тем, с чем вместе находится символ a.

Если делать через сочетания, то C_5^2 для выбора первой пары, C_3^2 для выбора второй, а потом делить на 2 за счёт того, что транспозиции можно переставлять. Какой смысл имеет множитель 2!/2, равный 1, мне непонятно.

(20 Июн '17 22:04) falcao

А почему к.с.э порядка 15 не может переходить в к.с.э. порядка 20, например? Только из соображений порядков элементов?

Иначе говоря, почему Вы отмечаете, что только два класса порядка 20 не могут меняться местами, но не отмечаете, что классы различных порядков не могут переходить друг в друга? Это очевидно?

(19 Июл '18 3:18) Slater

@Slater: свойство сопряжённости не меняется при автоморфизме. Поэтому класс сопряжённых при автоморфизме всегда переходит в какой-то класс сопряжённых. Порядок класса при этом, конечно, тоже сохраняется. При биекции не могут же 20 элементов отобразиться на 15.

(19 Июл '18 3:22) falcao

Тут типа используется, что ограничение биекции на любое подмножество (в данном случае - к.с.э.) - биекция?

(19 Июл '18 3:27) Slater

@Slater: если Вам больше нравится мыслить в столь формальных категориях, то да :) Но для меня первичны здравый смысл и интуиция, которых достаточно для осознания вещей такого уровня. Всё это без труда, конечно, облекается и в формальные термины, но материал от этого не становится ни понятнее, ни "строже" в плане уменьшения шансов ошибиться.

И уж если быть совсем формально точным, то ограничение биекции есть всего лишь инъекция, а из неё уже получается биекция на образ :)

(19 Июл '18 4:10) falcao

Это единственное объяснение, которое я вижу. Здравому смыслу я не доверяю, и априори не мне не очевидно, что ксэ мощности 15 не может переходить в ксэ мощности 20.

(19 Июл '18 4:17) Slater

@Slater: для сомнений должны быть какие-то основания. Если кто-то верит в то, что при перетасовке 15 карт их может мистическим образом стать 20, то эти сомнения, по идее, не должны развеяться от произнесения "магических" слов типа каких-то математических терминов :)

(19 Июл '18 4:26) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
17 Июн '17 17:31

показан
387 раз

обновлен
19 Июл '18 4:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru