Пусть $%R$% - конечное кольцо (комм., с 1). Будем говорить, что $%a\in R$% периодический с периодом $%k$% если $%a,a^2,\dots, a^k$% все различны, но $%a^{k+1}=a$%

1) В $%\mathbb Z_{76}$% найти элемент $%a\ne 0, 1$% периода 1

2) В $%\mathbb Z_{76}$% найти непериодический элемент

3) В $%\mathbb Z_{76}$% указать все возможные периоды и число элементов каждого периода

задан 17 Июн '17 17:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть a^2=a(76). Значит, a(a-1) делится на 76. Положим a=57. Такой элемент подходит, и он не равен ни 0, ни 1.

2) Возьмём a=2. Тогда a^{k+1}-a при делении на 4 даёт в остатке 2, то есть оно не сравнимо с 0 по модулю 76.

3) Тут одно выписывание элементов -- вещь уже достаточно долгая. Проще взять компьютер и посчитать. Скажем, степени 3 дают период 18 -- это проверяется напрямую. Для чисел, входящих в тот же цикл, могут получаться меньшие длины периодов -- например, для 9 будет вдвое меньше, и так далее. Отдельно проверяется, что 7 имеет период 6, и так далее. Число 4 имеет порядок 9, и так далее. Выписывать всё это целиком как-то нет желания.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 23:20

Т.е. в п.3 нет никакого приемлемого для ручного подсчета метода? Может, разложение на Z4+Z19 поможет?

Насчет порядка 18, 9 является степенью 3, но у нее период равен 9.

(6 Июл '17 20:51) Slater

@Slater: у меня про 3 и 9 это как раз и сказано. Фраза "степени 3 дают период 18" над понимать буквально. То есть мы выписываем все степени числа 3 и смотрим на длину периода.

Рассмотрение остатков от деления на 4 и на 19 возможно, но потом надо будет применять китайскую теорему об остатках. Общий ответ всё равно получится "хаотический", и это лучше перепоручить компьютеру.

(6 Июл '17 21:33) falcao

А как доказать напрямую, что $%(2,2)\in \mathbb Z_{4}\times \mathbb Z_{19}$% ни в какой степени не равен себе? (без отождествления его с $%2\in \mathbb Z_{76}$%)

(19 Июл '18 0:21) Slater
1

@Slater: а в чём тут проблема? Первая координата 2 в любой степени кроме первой даёт 0 по модулю 4. Это то же, о чём говорилось в тексте ответа.

(19 Июл '18 0:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
17 Июн '17 17:37

показан
206 раз

обновлен
19 Июл '18 0:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru